Question

No intervalo π/2 ≤ x ≤ π, a equação: √(1 - sen ²x) + cos x = -√2

a) não admite solução
b) admite x= 3π/4
c) admite x= 2π/3
d) admite x= 5π/6
e) admite x= π

Answer 1

Resposta: Não admite solução — Letra a)

Explicação passo-a-passo:

Sabe-se da trigonometria circular que sen²(x) + cos²(x) = 1, para todo x real. Tal relação é conhecida como Relação Trigonométrica Fundamental (R.T.F.) ou Relação Fundamental Trigonométrica. Também é sabido que raiz de(x²) = |x|, para qualquer que seja o valor real de x. Com isso:

sen²(x) + cos²(x) = 1 =>

cos²(x) = 1 - sen²(x)

Assim sendo, obteremos:

raiz de[1 - sen²(x)] + cos(x) = - raiz de(2) =>

raiz de[cos²(x)] + cos(x) = - raiz de(2) =>

|cos(x)| + cos(x) = - raiz de(2) (i)

e

x está no segundo quadrante (x pertence a [pi/2, pi]), com isso temos cos(x) < 0. É sabido que cos(x) < 0, o que acarreta |cos(x)| = - cos(x). Logo, a expressão (i) se torna:

|cos(x)| + cos(x) = - raiz de(2) e |cos(x)| = - cos(x) =>

- cos(x) + cos(x) = - raiz de(2) =>

cos(x) - cos(x) = - raiz de(2) =>

0 = - raiz de(2) (Absurdo!)

O que é logicamente, um Absurdo Matemático! Acarretando que não existem valores reais de x que satisfaçam a equação trigonométrica proposta =>

Não admite solução — Letra a)

Abraços!