Question

No instante 0s, um corpo é atirado para cima com ângulo de 45° em relação à horizontal, com velocidade de módulo 80 √2 m/s. Desprezando a influência do ar e considerando g = 10 m/s², determine o(s) instante(s) em que o projétil se encontra a 140 metros acima do plano horizontal de lançamento.

Dados: sen θ = cos θ = √2/2

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que o instante em que o projétil se encontra a 140 metros acima do plano horizontal de lançamento foi de t = 12 s.

O lançamento oblíquo  é um movimentos uniforme e uniformemente

variado formando um determinado ângulo com a horizontal.

Propriedade do lançamento oblíquo:

• O tempo de subida é igual ao tempo descida até o mesmo nível de lançamento,
• A aceleração retarda durante subida e acelera na descida,
• Altura máxima $\textstyle \sf \sf h_{max}$, a velocidade no eixo vertical $\textstyle \sf \sf V_y = 0$,

• Altura máxima alcançada será maior quanto maior o ângulo.

Na horizontal, eixo Ox:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ X = V_0 \cdot \sin{\theta} \cdot t } }$

Na vertical, eixo Oy:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_y = V_0 \cdot \cos{\theta} + g \cdot t } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ (V_y)^2= (V_0 \cdot \cos{\theta})^2 + 2g \:\Delta y } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = y_0 +V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t + \dfrac{g t^2}{2} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf \theta = 45^\circ \\ \sf \sin{45^\circ} = \cos{45^\circ} = \dfrac{\sqrt{2} }{2} \\\sf V_0 = 80\: \sqrt{2} \: m/s \\\sf g = -\: 10\: m/s^2 \: \: \downarrow\\ \sf t = \: ?\:s \\ \sf y - y_0 = 140\: m \end{cases} } }$

Aplicando a expressão, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = y_0 +V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t + \dfrac{g t^2}{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y - y_0 = 80\: \sqrt{2} \cdot \cos{45^\circ } \cdot t - \dfrac{10 t^2}{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 140 = 80\: \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot t - \dfrac{10 t^2}{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 140 = 40\: \sqrt{4} \cdot t - 5t^2 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 140 = 40 \cdot 2 \cdot t - 5t^2 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ -5t^2 +80t -140 = 0}$

$\large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = (80)^2 -\:4 \cdot (-5) \cdot (-140) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta =6\;400-\:2\;800 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 3\:600 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ t = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\:80 \pm \sqrt{ 3\:600 } }{2 \cdot (-5)} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ t = \dfrac{-\:80 \pm \sqrt{ 3\:600 } }{2 \cdot (-5)} = \dfrac{-\:80 \pm 60 }{ -10} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ t = \dfrac{\:80 \pm 60 }{ 10} \Rightarrow\begin{cases} \sf t_1 = &\sf \dfrac{80 + 60}{10} = \dfrac{140}{10} = 14 \\\\ \sf t_2 = &\sf \dfrac{80 - 60}{10} = \dfrac{20}{10} = \: 2\end{cases} } }$

O instante existente entre a passagem do projétil pela altura 140 m equivale à 12 s (1 4 -2 ).

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