Question

No desenvolvimento de (x^2+2/x^3)^10, qual o termo independente de x?

Answer 1

Olá.Dada o binômio.

$(x^{ 2 }+\frac { 2 }{ x^{ 3 } } )^{ 10 }$



Dada a fórmula.

$T_{ P+1 }=(\begin{matrix} n \\ p \end{matrix})*x^{ n-p }*a^{ p }$

O primeiro termo do binômio é o x, o segundo é o a, e o expoente é o n.Sabendo isso basta substituir na fórmula.

$T_{ P+1 }=(\begin{matrix} 10 \\ p \end{matrix})*(x^{ 2 })^{ 10-p }*(\frac { 2 }{ x^{ 3 } } )^{ p }$

Fazendo a distributiva do expoente do x e separando o expoente da fração.$T_{ P+1 }=(\begin{matrix} 10 \\ p \end{matrix})*x^{ 20-2p\quad }*\frac { 2^{ p } }{ x^{ 3p } }$

Bom, precisamos eliminar esse x, e uma forma fácil de fazer isso é fazendo com que o expoente do X que está em cima e do X da fração sejam iguais. Então é só igualar os expoentes e achar o valor de P.

$20-2p=3p\\ 20=3p+2p\\ 20=5p\\ \frac { 20 }{ 5 } =p\\ \\ 4=p$

Substituindo o P pelo seu valor teremos:

$T_{ 4+1 }=(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix})*x^{ 20-2(4)\quad }*\frac { 2^{ 4 } }{ x^{ 3(4) } } \\ \\ T_{ 5 }=210*x^{ 20-8\quad }*\frac { 16 }{ x^{ 12 } } \\ \\ \\ T_{ 5 }=210*\not x^{ 12 }*\frac { 16 }{ \not x^{ 12 } }$

Com isso teremos:

$T_{ 5 }=210*16\\ T_{ 5 }=3360$