Question

No desenvolvimento de um empreendimento, uma engenheira se deparou com a seguinte seção de um elemento estrutural. Determine os momentos de inércia principais e assinale a alternativa correta. Alternativas Alternativa 1: Imáx = 15,45 in4 e Imín = 1,89 in4 Alternativa 2: Imáx = 15,55 in4 e Imín = 1,89 in4 Alternativa 3: Imáx = 15,45 in4 e Imín = 1,87 in4 Alternativa 4: Imáx = 14,45 in4 e Imín = 1,89 in4 Alternativa 5: Imáx = 15,45 in4 e Imín = 1,98 in4

Answer 1

Resposta:

Alternativa 1:  Imáx = 15,45 in4 e Imín = 1,89 in4

Explicação passo-a-passo:

Esta questão está relacionada com momento de inércia máximo e mínimo. Antes disso, precisamos calcular os momentos de inércia em relação ao eixo X e Y da figura.

Nesse caso, vamos dividir a figura em três retângulos iguais, de 3 in por 1/2 in, para facilitar os cálculos.

Para calcular os momentos de inércia de um retângulo, utilizamos as seguintes equações:

$Ix=\frac{b\times h^3}{12} +A\times (X-x)^2\\ \\ Iy=\frac{h\times b^3}{12} +A\times (Y-y)^2$

Onde b é a base do retângulo, h é a altura do retângulo, A é a área da figura, (X,Y) é o centro geométrico e x e y são as respectivas distâncias até o centro geométrico.

Primeiramente, vamos calcular o momento de inércia no eixo X:

$Ix=[\frac{3\times (\frac{1}{2})^3}{12} +3\times \frac{1}{2} \times (1,75)^2]+[\frac{\frac{1}{2}\times 3^3}{12}]+[\frac{3\times (\frac{1}{2})^3}{12} +3\times \frac{1}{2} \times (1,75)^2]\\ \\ Ix=10,375 \ in^4$

Agora, vamos calcular o momento de inércia no eixo Y:

$Iy=[\frac{\frac{1}{2}\times 3^3}{12} +3\times \frac{1}{2} \times (1,25)^2]+[\frac{3\times \frac{1}{2}^3}{12}]+[\frac{\frac{1}{2}\times 3^3}{12} +3\times \frac{1}{2} \times (1,25)^2]\\ \\ Iy=6,96875 \ in^4$

Nesse momento, precisamos também calcular os produtos de inércia de cada figura. Por se tratarem de retângulos, podemos calcular esses valores com a seguinte equação:

$Ixy=A\times (x-X)\times (y-Y)$

Para cada retângulo, temos:

$Ixy1=3\times \frac{1}{2} \times (1,25)\times (-1,75)=-3,28125\\ \\ Ixy2=0\\ \\ Ixy3=3\times \frac{1}{2} \times (-1,25)\times (1,75)=-3,28125\\ \\ \\ Ixy=-3,28125+0-3,28125=-6,5625 \ in^4$

Com esses valores calculados, podemos determinar os momentos de inércia máximo e mínimo, através da seguintes equações:

$Imax=\frac{Ix+Iy}{2}+\sqrt{(\frac{Ix-Iy}{2})^2+Ixy^2} \\ \\ Imin=\frac{Ix+Iy}{2}-\sqrt{(\frac{Ix-Iy}{2})^2+Ixy^2}$

Por fim, temos:

$Imax=\frac{10,375+6,96875}{2}+\sqrt{(\frac{10,375-6,96875}{2})^2+(-6,5625)^2} \\ \\ Imax=15,45 \ in^4 \\ \\ Imin=\frac{10,375+6,96875}{2}-\sqrt{(\frac{10,375-6,96875}{2})^2+(-6,5625)^2}\\ \\ Imin=1,89 \ in^4$

Portanto, os momentos de inércia da figura são:

Imax = 15,45 in^4

Imin = 1,89 in^4