Question

No desenvolvimento binominal de [1/2x²-y]¹⁰, calcule o coeficiente do termo que contém o fator y⁴? Qual a soma dos coeficientes desse desenvolvimento? Quantos termos existem nesse desenvolvimento?​​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para resolver essa questão, devemos recorrer ao triângulo de Pascal e de algumas outras propriedades.

Certamente, o seu professor já explicou como é desenvolvido o triângulo de Pascal, pois caso contrario, ele não aplicaria essa atividade.

Para poupar tempo, vou apenas representa-lo abaixo.

Na 10ª linha do triângulo de Pascal temos:

1   10   45   120   210   252   210   120   45  10   1

onde esses valores serão os coeficientes que vamos utilizar no desenvolvimento do exercício.

Desenvolvendo o binômio, teremos:

$[\frac{1x^2}{2}-y]^1^0=[\frac{x^2-2y}{2}]^1^0=\frac{(x^2-2y)^1^0}{2^1^0}$

Separando o numerador, temos:

$(x^2-2y)^1^0$

Desenvolvendo o Binômio vamos ter:

$1(x^2)^1^0*(-2y)^0+10(x^2)^9*(-2y)^1+45(x^2)^8*(-2y)^2+120(x^2)^7*(-2y)^3+210(x^2)^6*(-2y)^4+252(x^2)^5*(-2y)^5+210(x^2)^4*(-2y)^6+120(x^2)^3*(-2y)^7+45(x^2)^2*(-2y)^8+10(x^2)^1*(-2y)^9+1(x^2)^0*(-2y)^1^0$

Pontos importantes a serem lembrados:

1) Qualquer número elevado a zero é 1

2) $(a^n)^m=a^n^m$

3) Se o expoente é par, mesmo que o número seja negativo ele se torna positivo, pois $(-z)(-z)=+z$ para qualquer número real.

1) Calcular o coeficiente do termo que contém o fator $y^4$

Observe que não é preciso calcular tudo, basta somente procurar onde está localizado o termo

$210(x^2)^6*(-2y)^4$

$210x^1^2*16y^4=3360x^1^2y^4$

Porém temos que lembrar que anteriormente, tínhamos desconsiderado o denominador, portanto, fica:

$\frac{3360x^1^2y^4}{2^1^0}$

e o coeficiente é : $\frac{3360}{1024} =\frac{105*2^5}{2^1^0} = \frac{105}{2^5} = \frac{105}{32}$

"Quantos termos existem nesse desenvolvimento?"

Podemos observar, através do Binômio de Newton, que existem 11 termos.

OBSERVAÇÃO

O desenvolvimento fica diferente caso o binômio seja $[\frac{1}{2x^2}-y]^1^0$, só me atentei a este detalhe agora.

Nesse caso, temos que usar a propriedade do expoente negativo.

$(\frac{1}{x} )^-^1=x^1$

Ai fica: $[2x^-^2-y]^1^0$ e para desenvolver basta seguir as dicas acima.