Question

No conjunto M das matrizes n x m ( com n diferente m), considere as seguintes afirmações:
I. Se A é uma matriz de M, sempre estará definido o produto A.A
II. Se A é uma matriz de M, sua transposta não o será
III. A soma de duas matrizes de M pode não pertencer a M

Concluímos que

a) somente II é verdadeiro.
b) somente I e II são verdadeiras.
c) todas são falsas.
d) somente I é falsa.
e) n.d.a.

Alguém poderia me explicar o porquê de ser a questão correta

Answer 1

Seja $A$ uma matriz pertencente conjunto $\mathcal{M}$ das matrizes de dimensão $n \times m$ com $n \neq m$.

I. O produto de matrizes está definido sempre que o número de colunas da 1.ª seja igual ao número de linhas da segunda, ou seja, o produto $XY$ está definido desde que $X$ tenha dimensão $p \times q$ e $Y$ tenha dimensão $q \times r$, sendo nesse caso $XY$ uma matriz de dimensão $p \times r$. Como tal para o produto de uma matriz por si própria estar definido, ela tem de ser necessariamente quadrada, ou seja, o seu número de linhas tem de ser igual ao número de colunas. Neste caso, teríamos de ter $n = m$. Contudo, $n \neq m$, logo o produto $AA = A^2$ não está definido.

Afirmação falsa.

II. A transposta de uma matriz corresponde à matriz inicial com as linhas trocadas por colunas. Assim, se $A$ tem dimensão $n \times m$, a transposta $A^\top$ tem dimensão $m \times n$. Como $n \neq m$, se $A \in \mathcal{M}$, então $A^\top \not\in \mathcal{M}$.

Afirmação verdadeira.

III. A soma de duas matrizes de dimensão $n \times m$ é ainda uma matriz de dimensão $n \times m$. Como tal, se $A, B \in \mathcal{M}$, então necessariamente $A + B \in \mathcal{M}$.

Afirmação falsa.

Resposta: $\textrm{a)} \quad \textrm{somente II \'{e} verdadeiro.}$