Question

Na iluminação de uma praça, três novas luminárias são instaladas do seguinte modo: uma dessas luminárias é instalada na bissetriz do primeiro quadrante; a distância de cada uma delas ao ponto de encontro das linhas centrais dos dois passeios é 20 metros; a distância entre cada par dessas luminárias é a mesma. Escreva os números complexos que representam, na forma trigonométrica, a posição de cada luminária no plano.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

• $\sf z_1=a+bi$, tais que $\sf a=b$ e $\sf |z|=20$

$\sf \sqrt{a^2+a^2}=20$

$\sf \sqrt{2a^2}=20$

$\sf (\sqrt{2a^2})^2=20^2$

$\sf 2a^2=400$

$\sf a^2=\dfrac{400}{2}$

$\sf a^2=200$

$\sf a=\sqrt{200}$

$\sf a=10\sqrt{2}$

$\sf b=10\sqrt{2}$

Assim, $\sf z_1=10+i\cdot10\sqrt{2}$

$\sf sen~\theta_1=\dfrac{10\sqrt{2}}{20}~\rightarrow~sen~\theta_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sf cos~\theta_1=\dfrac{10\sqrt{2}}{20}~\rightarrow~cos~\theta_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Desse modo, $\sf arg(z_1)=\dfrac{\pi}{4}~rad$

$\sf \red{z_1=20\cdot\left[cos~\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\cdot sen~\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right]}$

• Outra luminária está na bissetriz do quarto quadrante

$\sf z_2=10\sqrt{2}-i\cdot10\sqrt{2}$

$\sf sen~\theta_2=\dfrac{-10\sqrt{2}}{20}~\rightarrow~sen~\theta_2=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$

$\sf cos~\theta_2=\dfrac{10\sqrt{2}}{20}~\rightarrow~cos~\theta_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Desse modo, $\sf arg(z_2)=\dfrac{7\pi}{4}~rad$

$\sf \red{z_2=20\cdot\left[cos~\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)+i\cdot sen~\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\right]}$

• A outra luminária está no eixo real

$\sf z_3=-20$

$\sf sen~\theta_3=\dfrac{0}{20}~\rightarrow~sen~\theta_3=0$

$\sf cos~\theta_3=\dfrac{-20}{20}~\rightarrow~cos~\theta_3=-1$

Desse modo, $\sf arg(z_3)=\pi~rad$

$\sf \red{z_3=20\cdot\left(cos~\pi+i\cdot sen~\pi\right)}$

Answer 2

Você já tem a resposta, muito obrigada e bons estudos!