Question

Na função f(x)=2.sen 5x definida nos reais escreva o conjunto imagem e o periodo?

Answer 1

Para as funções seno e cosseno da forma:
f(x) = a + b.sen(cx + d)   ou f(x) = a + b.cos(cx + d)

Sabemos que -1 ≤ sen(cx + d) ≤ 1 
Multiplicando por b > 0
-b ≤ b.sen(cx + d) ≤ b
Adicionando a
a - b ≤ a + b.sen(cx + d) ≤ a + b
a - b ≤ f(x) ≤ a + b
Logo, Im(f) = [a -b, a + b]
Período: Quando cx + d estiver na origem, ou seja, cx + d = 0 ⇒ cx = -d 
⇒x = -d/c
Quando cx + d der uma volta completa no ciclo, ou seja cx + d = 2π ⇒
 cx = 2π - d ⇒ x = 2π/c - d/c
p = vf - vi ⇒ p = 2π/c - d/c - (-d/c) ⇒ p = 2π/c. Como c pode ser > 0 ou c < 0 , então,  p = |2π/c|

f(x) = 2sen5x 
a = 0, b = 2, c = 5 e d = 0 (não influencia nem na imagem nem no período)
p = 2π/c ⇒ p = 2π/5

Im(f) = [a - b, a + b]
im(f) = [0 - 2, 0 + 2) ⇒ im(f) = [-2, 2]