Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD tem dois ângulos retos. Sobre os lados AB e CD estão marcados os pontos P e Q respectivamente. A figura também indica os seguintes comprimentos: segmento AD=12, segmento PB= 18, segmento BC= 24 e segmento QD= 8. Qual é a área do quadrilátero sombreado PBQD?
Soluções para a tarefa
A área do quadrilátero sombreado PBQD é 204.
Traçando uma reta, ligando os pontos B e D, obtemos dois triângulos retângulos: CDB e ABD.
CD = x
AB = y
Assim, a área desses triângulos são:
Área (CDB)
A(cdb) = 24.x
2
A(cdb) = 12x
Área (ABD)
A(abd) = 12.y
2
A(abd) = 6y
A área do quadrilátero ABCD é a soma das áreas desses triângulos.
A(abcd) = A(cdb) + A(abd)
A(abcd) = 12x + 6y
Como CD = x, temos:
CQ = x - 8
Como AB = y, temos:
AP = y - 18
Assim, a área dos triângulos ADP e CBQ são:
A(adp) = 12.(y - 18)
2
A(adp) = 6(y - 18)
A(adp) = 6y - 108
A(cbq) = 24.(x - 8)
2
A(cbq) = 12.(x - 8)
A(cbq) = 12x - 96
A área do quadrilátero PBQD é a diferença entre a área do quadrilátero ABCD e dos triângulos ADP e CBQ. Logo:
A(pbqd) = A(abcd) - [A(adp) + A(cbq)]
A(pbqd) = 12x + 6y - [6y - 108 + 12x - 96]
A(pbqd) = 12x - 12x + 6y - 6y + 108 + 96
A(pbqd) = 108 + 96
A(pbqd) = 204
