Question

Mostre que todos o intervalos abertos (limitados e não degenerados) da Reta Real são equipotentes. O que isso significa?Preciso de uma ajuda.

Answer 1

Em 1° plano mostremos o que é um intervalo aberto;

São certos conjuntos que correspondem geometricamente, o segmento de reta (ou semi –reta).

  Por exemplo, se a<b,o intervalo aberto,denotado por (a,b) é constituído por todos os números reais que estão entre a e b.

(a,b)=]a,b[={xЄr/a<x<b}

Para 2 conjuntos serem equipotentes basta que exista uma função bijetora entre os mesmos,ou seja dizemos que um conjunto A tem o mesmo número de elementos que B,ou  que A tem o mesmo cardinal que B se existe uma bijeção entre a e B.

Ao invés de dizer que A é equicardinal a B também diz que com o mesmo sentido que A é equipotente B, ou seja, A~B ou #A=#B²).

 Ex;Qualquer intervalo de reais[a,b],com(a,bЄ IR e),a<b,é equipotente ao intervalo [a,b],uma vez que a aplicação g=[0,1] →[a,b] é definida por;

INzero= 0    1     2    3    4    5   6                       g(x)=a+(b-a)x

               0    1    -1   2   -2     3  -3

 (para todo xЄ(0,1),logo é uma bijeção e são equipotententes