Question

Mostre que para cada par de elementos a,b ∈ A, a equação a + x = b tem única solução. Como provar?

Answer 1

Supondo que A seja um anel, deseja-se mostrar que, para quaisquer $\mathsf{a, b\in A,}$ a equação $\mathsf{a+x=b}$ tem solução única.

De início, mostremos que existe tal solução.

Existência: O elemento $\mathsf{b-a}$ é solução da equação $\mathsf{a+x=b.}$ De fato, tem-se:

$\large\begin{aligned}\mathsf{a+(b-a)}&=\sf a+(-a+b)\\\\&=\sf [a+(-a)]+b\\\\&=\sf 0+b\\\\&=\sf b\end{aligned}$

Logo, está demonstrado que existe solução.

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Observação: O elemento $\mathsf{b-a}$ surgiu da seguinte forma:

A partir de $\mathsf{a+x=b,}$ some $\mathsf{-a}$ a ambos os membros da equação. Assim, obtemos $\mathsf{-a+(a+x)=-a+b.}$ Como A é um anel, a adição é associativa, ou seja:

$\mathsf{-a+(a+x)=-a+b}\implies\\\\\implies\mathsf{(-a+a)+x=-a+b.}$

Como -a e a são simétricos, sua soma é igual ao elemento neutro do anel. Daí:

$\mathsf{(-a+a)+x=-a+b}\implies\\\\\implies\mathsf{0+x=-a+b}\implies\\\\\implies\boxed{\mathsf{x=b-a.}}$

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Agora, prevemos que essa solução existente é única.

Unicidade: Suponha que y e z são duas soluções distintas de $\mathsf{a+x=b.}$ Desse modo, temos $\mathsf{a+y=b}$ e $\mathsf{a+z=b.}$ Então, segue que:

$\large\mathsf{a+y=a+z}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{-a+(a+y)=-a+(a+z)}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{(-a+a)+y=(-a+a)+z}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{0+y=0+z}\implies\\\\\\\implies\large\boxed{\mathsf{x=y}}$

Portanto, há uma única solução para a equação $\mathsf{a+x=b.}$

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)