Question

Mostre que a funcao abaixo e harmonica:

$u=arctg\frac{y}{x}$

Answer 1

Bom dia Ronny

uma função é harmônica se a soma das derivadas parciais segundas é nulo 

u = arctg(y/x)

d²/dx²(u) = 2xy/(x² + y²)

d²/dy²(u) = -2xy/(x² + y²) 

2xy/(x² + y²) - 2xy/(x² + y²) = 0 

logo a função u = arctg(x/y) é harmônica 

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para mostrar que a função abaixo é harmônica.
Veja,Ronny, como já vimos em uma outra questão sua, uma função é considerada harmônica quando a soma das derivadas segundas é igual a zero, ou seja, quando a soma da derivada segunda em relação a "x" com a derivada segunda em relação "y" é igual a zero.
Assim, para chegarmos à derivada segunda em relação a cada incógnita, vamos passar pela derivada primeira respectiva.
Assim,, teremos:

i) f(x, y) = arctan(y/x)

i.1) Cálculo da derivada primeira em relação a "x":

f'(x)(x, y) = - y/(x²+y²)

i.2) Cálculo da derivada segunda em relação a "x":

f''(x)(x, y) = 2xy/(x²+y²)²      . (I)

i.3) Cálculo da derivada primeira em relação a "y":

f'(y)(x, y) = x/(x²+y²)

i.4) Cálculo da derivada segunda em relação a "y":

f''(y)(x, y) = -2xy/(x²+y²)    . (II)

ii) Agora vamos somar as expressões (I) e (II) e ver se essa soma é igual a zero. Se for, é porque a função dada é harmônica.
Assim:

(I) + (II) = 2xy/(x²+y²)² + (-2xy)/(x²+y²)² ---- como o denominador é o mesmo, então poderemos fazer assim:

(I) + (II) = (2xy + (-2xy))/(x²+y²)² ------ desenvolvendo, teremos:

(I) + (II) = (2xy - 2xy)/(x²+y²)²
(I) + (II) = (0)/(x²+y²)² ---- como "0" sobre qualquer coisa é zero, então:
(I) + (II) = 0 <--- Veja: como deu igual a zero a soma das derivadas segundas em relação a "x" e em relação a "y", então é porque a equação original é harmônica.

OK?
Adjemir.