Question

MOSTRE QUE A AFIRMAÇÃO A SEGUIR É VERDADEIRA:
${1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + ... + {n}^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{2}$
Para todo n pertencente a A.​

Answer 1

Explicação passo a passo:

Mostrar que a afirmação é verdadeira para todo $n\in\mathbb{N}:$

    $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\qquad\mathrm{(i)}$

(a soma dos n primeiros quadrados dos naturais)

Existem várias formas de verificar a identidade (i). Segue uma delas:

• Método: Calculando a primeira diferença (diferença entre dois termos consecutivos) da fórmula fechada da sequência:

Demontração: Seja $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ a sequência cuja lei é dada por

    $a_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\qquad\mathrm{(ii)}$

Para $n=1,$ temos

    $\begin{array}{l}a_1=\dfrac{1\cdot (1+1)(2\cdot 1+1)}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_1=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_1=1=1^2\qquad\checkmark \end{array}$

Para $n>1,$ calculemos a diferença entre dois termos consecutivos, conforme abaixo:

    $\begin{array}{l}a_n-a_{n-1}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{(n-1)\big((n-1)+1\big)\big(2(n-1)+1\big)}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{(n-1)(n)\big(2n-2+1)}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)-(n-1)n(2n-1)}{6} \end{array}$

Coloque $n$ em evidência no numerador, e desenvolva os produtos pela propriedade distributiva da multiplicação:

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n\cdot [(n+1)(2n+1)-(n-1)(2n-1)]}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n\cdot [(2n^2+n+2n+1)-(2n^2-n-2n+1)]}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n\cdot [(2n^2+3n+1)-(2n^2-3n+1)]}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n\cdot [\,\diagup\!\!\!\!\!\! 2n^2+3n+\diagdown\!\!\!\! 1-\,\diagup\!\!\!\!\!\!2n^2+3n-\diagdown\!\!\!\! 1\,]}{6}\end{array}$

Os termos opostos se cancelam e a expressão fica

       $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n\cdot [3n+3n]}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{n\cdot 6n}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 6n^2}{\diagup\!\!\!\! 6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n-a_{n-1}=n^2\qquad\mathrm{(iii)}\end{array}$

para todo $n>1.$

Vamos escrever a expressão (iii) para os primeiros valores de $n:$

    $\begin{array}{llcl}k=2:\quad&a_2-a_1&\!\!\!=\!\!\!&2^2\\ k=3:\quad&a_3-a_2&\!\!\!=\!\!\!&3^2\\ k=4:\quad&a_4-a_3&\!\!\!=\!\!\!&4^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\\ k=n:\quad&a_n-a_{n-1}&\!\!\!=\!\!\!&n^2 \end{array}$

Somando as igualdades acima membro a membro para cada valor de $k,$ temos

    $\Longrightarrow\quad (a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_n-a_{n-1})=2^2+3^2+\cdots+n^2$

Os termos opostos intermediários se cancelam no lado esquerdo da igualdade, e ficamos com

    $\Longleftrightarrow\quad -a_1+a_n=2^2+3^2+\cdots+n^2$

Substituindo o valor de $a_1=1^2,$ a expressão fica

    $\Longrightarrow\quad -1^2+a_n=2^2+3^2+\cdots+n^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\qquad\blacksquare$

Portanto, está provado que

    $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$

para todo $n\in\mathbb{N}$

Obs.: É possível também demonstrar a identidade utilizando o princípio da indução finita (PIF) no conjunto dos naturais.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!