Question

me ajudem!

veja como um aluno determinou as raízes reias da equação x² - 4 + 4=0.

observando como esse aluno resolveu a equação, responda às questões.

a) esse aluno " arrumou" a equação de tal forma que conseguiu chegar a expressão (x-2)². como é por que você acha que ele usou esse artifício ?

b) esse aluno encontrou duas raízes iguais. por que isso aconteceu ?

c) para verificar se 2 é realmente raiz da equação x² -4 +4 = 0, oque ele deverá fazer ?

d) utilize a fórmula resolutiva de equações do 2° grau para resolver essa equação e compare os seus resultados, com os obtidos por esse aluno.

Answer 1

Olá,

a)

Ele usou o artificio dos produtos notáveis:

Já que sabemos que:

(x+a)² = x² + 2·a·x + a² 

Ou seja, o quadrado do primeiro valor (x) mais duas vezes a multiplicação entre os valores (x) e (a) mais o quadrado do segundo valor (a).

Então ele reescreveu x²-4x+4 dessa maneira:

x²-2·x·2+2² = x² + 2·x·a + a²

x² = x²

-2·x·2 = 2·x·a
-4·x = 2·x·a
a = -4x/2x
a = -2

a² = 4

a = √4
a = 2

ou 

a = -√4
a = -2

Logo, para todas as condições serem satisfeitas, a = -2

Então.

x²-4x+4 = (x-2)²

b)

(x-2)² = 0

Temos um mesmo termo (x-2) ao quadrado
Logo, para essa equação ser zero, as raízes serão iguais

Ou seja,

(x-2)² = (x-2)(x-2) = 0

Para isso acontecer:

x-2 = 0
x = 2

ou

x-2 = 0
x = 2

Então, 

Vamos ter duas raízes iguais a 2 já que

(x-2)² = 0 para x = 2
(2-2)² = 0
0² = 0
0 = 0

c)

Para verificar basta calcular f(2)

f(x) = x²-4x+4 para x = 2

f(x) = (2)²-4(2)+4
f(x) = 4-8+4
f(x) = -4+4
f(x) = 0

Verdadeiro, 2 é solução

d)

x²-4x+4 = 0 sendo a = 1, b = -4 e c = 4

Δ = b²-4ac
Δ = (-4)²-4(1)(4)
Δ = 16-16
Δ = 0

x₁ = (-b+√Δ)/2a = (-(-4)+√0)/2(1) = (4+0)/2 = 4/2 = 2
x₂ = (-b-√Δ)/2a = (-(-4)-√0)/2(1) = (4-0)/2 = 4/2 = 2

Resposta:

O aluno estava certo, temos duas raízes iguais a 2