Question

Me ajudem por favor!!

Answer 1

Olá.

Para sabermos a distância entre os pontos P (vértice da parábola) e Q (intersecção das funções) temos que descobrir as funções f(x) (função do primeiro grau, reta) e g(x) (função do segundo grau, parábola). Para isso vamos usar as informações dadas no gráfico, com as coordenadas dos pontos que pertencem às funções.

RETA:

y = f(x)

pontos: (0,1), (2,0)

Encontrando a inclinação m da reta:

$\displaystyle m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}=\frac{0-1}{2-0} =\frac{-1}{2} =-\frac{1}2}$

No gráfico vemos que a reta intercepta o eixo y em y = 1. Então b = 1

$\displaystyle y=mx+b$

$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+1$

E esta é a equação da reta que passa pelos dois pontos, e por Q também, inclusive.

PARÁBOLA:

y = g(x)

pontos: raízes (-1, 0) e (2, 0), intercecção com y em (0, 4)

Para encontrar a função da parábola teremos que resolver um sisteminha de equações que conseguiremos substituindo as coordenadas dos três pontos na forma geral.

y = ax² +bx +c

Ponto (-1, 0):  

0 =  a(-1)² +b(-1) +c

0 =  a -b +c

Ponto (0,4):  

4 = a(0)² +b(0) +c

4 = c

Ponto (2,0):  

0 = a(2)² +b(2) +c

0 = 4a +2b +c

Daí, temos:

c = 4

0 =  a -b +c

0 =  a -b +4

b = a +4

0 = 4a +2b +c

0 = 4a +2(a +4) +4

0 = 4a +2a +8 +4

6a = -12

a = -2

b = a +4

b = -2 +4

b = 2

Montando a equação:

y = ax² +bx +c

y = -2x² +2x +4

ENCONTRANDO O VÉRTICE DA PARÁBOLA

$V = \displaystyle (\frac{-b}{2a},\frac{- \Delta}{4a} )$

$X_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2*(-2)}=\frac{1}{2}$

$Y_V = \displaystyle -\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4*(-2)}=-\frac{2^2-4(-2)(4)}{-8}=\frac{4+32}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$

$V = \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{9}{2} )$

INTERSECÇÃO ENTRE AS FUNÇÕES

Na intersecção entre f(x) e g(x) elas têm dois pontos em comum, e um desses pontos é o Q que procuramos. Nesses pontos as funções são iguais, ou seja, seus pontos têm as mesmas coordenadas. Então é só igualar as funções.

$\displaystyle y=f(x)=-\frac{1}{2}x+1$

$y =g(x)= -2x^2 +2x +4$

$\displaystyle -\frac{1}{2}x+1= -2x^2 +2x +4$

Simplificando:

$\displaystyle 2x^2-\frac{5}{2}-3=0$

Calculando as raízes através de Bhaskara:

$x'=2$    (Esta faz parte do ponto (2, 0)

$\displaystyle x"=-\frac{3}{4}$    (Esta é a que procuramos! É a abcissa de Q!)

Substituimos essa raiz na função mais simples (para facilitar), para encontrar a ordenada de Q:

$\displaystyle y=f(x)=-\frac{1}{2}x+1$

$\displaystyle f(-\frac{3}{4})=-\frac{1}{2}(-\frac{3}{4})+1=\frac{3}{8}+1=\frac{11}{8}$

Então

$\displaystyle Q=(-\frac{3}{4},\frac{11}{8})$

E, finalmente,

DISTÂNCIA ENTRE P e Q (em centímetros)

É só usar a fórmula da distância entre dois pontos.

$\displaystyle D(P,Q) = \sqrt{(-\frac{3}{4}-\frac{1}{2})^2+(\frac{11}{8}-\frac{9}{2})^2}=\sqrt\frac{725}{64}=\frac{5\sqrt29}{8} cm$

Tcharam... Estude bastante. Este exercicio é muito bem elaborado. O professor pediu muitos assuntos dentro de um só exercício. Tem que ter boa base, ir estudando sem enrolar, esaber pesquisar para tirar dúvidas.

Abraços.