Question

me ajudem por favor!!!

Answer 1

a) Seja $v$ a velocidade da bola 1 antes do choque. O momento linear imediatamente antes da colisão é:

$p_i = M_1 v.$

Por outro lado, uma vez que a colisão é perfeitamente inelástica, as bolas saem juntas, correspondendo assim a um corpo de massa $M_1 + M_2$ com velocidade $v_\textrm{sa\'{i}da}$, e o momento linear imediatamente após a colisão é:

$p_f = (M_1 + M_2)v_\textrm{sa\'{i}da}.$

Dado que não existem forças externas, o momento linear é conservado na colisão, donde se obtém:

$p_i = p_f \iff M_1 v = (M_1 + M_2)v_\textrm{sa\'{i}da} \iff v = \dfrac{M_1 + M_2}{M_1}v_\textrm{sa\'{i}da}.$

b) Tomando a altura da extremidade B como referência para a energia potencial gravítica, e tendo em conta que a bola 1 é abandonada do repouso, a energia mecânica inicial é dada por:

$E_i = M_1 gH.$

No instante imediatamente antes da colisão, a energia mecânica é puramente cinética:

$E_f = \dfrac{1}{2}M_1v^2,$

onde $v$ é a velocidade da bola 1 imediatamente antes da colisão.

Uma vez que as forças dissipativas são ignoradas, a energia mecânica é conservada e obtém-se:

$E_i = E_f \iff M_1gH = \dfrac{1}{2}M_1v^2 \iff H = \dfrac{v^2}{2g}.$

A partir da relação encontrada em a), obtém-se finalmente:

$H = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{1}{2g}\left(\dfrac{M_1 + M_2}{M_1}v_\textrm{sa\'{i}da}\right)^2 = \dfrac{(M_1+M_2)^2}{2gM_1^2}v_\textrm{sa\'{i}da}^2.$

c) Tal como referido em b), a energia mecânica imediatamente antes da colisão é:

$E_1 = \dfrac{1}{2}M_1v^2,$

onde $v$ é a velocidade da bola 1 imediatamente antes da colisão. A energia mecânica imediatamente após a colisão corresponde à energia cinética do conjunto das duas bolas à velocidade de saída:

$E_2 = \dfrac{1}{2}(M_1+M_2)v_\textrm{sa\'{i}da}^2,$

Assim, a perda de energia é:

$\Delta E = E_2 - E_1 = \dfrac{1}{2}(M_1+M_2)v_\textrm{sa\'{i}da}^2 - \dfrac{1}{2}M_1v^2 = \dfrac{1}{2}\left[M_1(v_\textrm{sa\'{i}da}^2-v^2)+M_2v_\textrm{sa\'{i}da}^2\right].$

Substituindo a expressão de $v$ em função de $v_\textrm{sa\'{i}da}$, tem-se ainda:

$\Delta E = \dfrac{1}{2}\left[M_1\left(v_\textrm{sa\'{i}da}^2-\left(\dfrac{M_1 + M_2}{M_1}v_\textrm{sa\'{i}da}\right)^2\right)+M_2v_\textrm{sa\'{i}da}^2\right] =\\\\=\dfrac{1}{2}v_\textrm{sa\'{i}da}^2\left[M_1-\dfrac{(M_1+M_2)^2}{M_1}+M_2\right] = \dfrac{1}{2}v_\textrm{sa\'{i}da}^2\left[\dfrac{M_1^2-(M_1+M_2)^2+M_2M_1}{M_1}\right].$

Expandindo o quadrado, simplifica-se ainda mais:

$\dfrac{1}{2}v_\textrm{sa\'{i}da}^2\left[\dfrac{M_1^2-M_1^2-2M_1M_2-M_2^2+M_2M_1}{M_1}\right] = \dfrac{1}{2}v_\textrm{sa\'{i}da}^2\left[\dfrac{-M_1M_2-M_2^2}{M_1}\right]=\\\\= -\dfrac{1}{2}v_\textrm{sa\'{i}da}^2\left[M_2 + \dfrac{M_2^2}{M_1}\right] = -\dfrac{1}{2}v_\textrm{sa\'{i}da}^2M_2\left(1 + \dfrac{M_2}{M_1}\right).$

Note o sinal $-$ do resultado, que indica a dissipação de energia, tal como esperado. Por outro lado, vemos que a energia perdida aumenta com o quadrado da velocidade de saída e é tanto maior quanto maior for a razão entre as massas, o que também faz sentido físico. Note também que, contrariamente ao pedido, a perda de energia não depende da aceleração gravítica $g$, pois consideramos instantes imediatamente antes e após a colisão, pelo que a variação da energia é puramente cinética.

d) Considere-se o sistema de eixos com origem no centro da circunferência do tubo, com o eixo dos $xx$ horizontal orientado da esquerda para a direita e o eixo dos $yy$ vertical orientado de baixo para cima. Segundo as leis do lançamento horizontal, o conjunto das duas bolas, sabemos que ele vai descrever um movimento parabólico segundo as equações:

$\begin{cases}x(t) = -v_\textrm{sa\'{i}da}t \\ y(t) = R - \dfrac{|g|}{2}t^2\end{cases}.$

Calculamos agora o instante em que o conjunto das bolas ingressa na extremidade A. Tal ocorre para $x(t) = -R$:

$x(t) = -R \iff -v_\textrm{sa\'{i}da}t = -R \iff t = \dfrac{R}{v_\textrm{sa\'{i}da}}.$

Nesse instante, tem-se $y(t) = 0$, donde se obtém:

$0 = R - \dfrac{|g|}{2}\left(\dfrac{R}{v_\textrm{sa\'{i}da}}\right)^2 \iff \dfrac{|g|}{2}\dfrac{R}{v_\textrm{sa\'{i}da}^2} = 1 \iff v_\textrm{sa\'{i}da}^2 = \dfrac{|g|R}{2} \implies \\\\\implies v_\textrm{sa\'{i}da} = \sqrt{\dfrac{|g|R}{2}} .$