Question

me ajudem por favoor ​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos lembrar a definição de uma integração por partes:

$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\,dx$

Se preferir podemos fazer:

$u = f(x)\\v = g(x)\\\\du = f'(x)dx\\dv = g'(x)dx$

Ficamos com:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Bom! agora já temos a definição, vamos calcular de fato:

$\int e^x\cos x\,dx$

Vamos considerar o seguinte:

$u = \cos (x)\\v = e^x\\\\du = -\sin (x)\;dx\\dv = e^x\;dx$

Colocando na nossa definição temos:

$\int e^x\cos (x)\;dx = e^xcos(x) - \int -e^x\sin(x)\;dx\\\int e^x\cos (x)\;dx = e^xcos(x) + \int e^x\sin(x)\;dx$

Aplicando integral por partes novamente na integral da direita temos:

$u = \sin (x)\\v = e^x\\\\du = cos (x)\;dx\\dv = e^x\;dx$

Portanto:

$\int e^x\sin(x)\;dx = e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\,dx$

Olha só que legal, podemos substituir isso e teremos:

$\int e^x\sin(x)\;dx = e^x\sin(x) + e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\,dx$

Note que temos a mesma integral dos dois lados, passando para o outro lado somando temos:

$2\int e^x\sin(x)\,dx = e^x\sin(x)+e^x\cos(x)$

Podemos colocar o e^x em evidência

$2\int e^x\sin(x)\,dx = e^x(\sin(x)+\cos(x))$

Simplificando:

$\int e^x\sin(x)\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin(x)+\cos(x))$

Pronto! já calculamos a primeira, duas integrações por partes!

Agora vamos para a segunda:

$\int x\cdot ln(x)\,dx$

Vamos considerar:

$u = ln(x)\\v = \frac{x^2}{2}\\\\du = \frac{1}{x} dx\\\\dv = x\,dx$

Temos então:

$\int x\cdot ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx$

Podemos tirar as constantes da integral:

$\int x\cdot ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x}\,dx\\\int x\cdot ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{1}{2}\int x\,dx$

Ficamos apenas com uma integral simples de um polinomio de primeiro grau, que é:

$\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}$

De fato nossa integral já está calculada, colocando isso acima temos:

$\int x\cdot ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{x^2}{4}$

Podemos colocar x^2/4 em evidência:

$\int x\cdot ln(x)\,dx = \frac{x^2}{4}(2ln(x)-1)$

Pronto! calculamos as duas integrais, qualquer dúvida respondo nos comentários