Question

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No triângulo ABC da figura, temos que DE / BC. Sabendo que a medida do lado BC do triângulo é 14 cm, calcule as medidas dos lados AB e AC e o períme- tro desse triângulo. A X - 1 Om m D 3 B x + 4 E X 3. No triângulo ABC da figura , temos que DE / BC . Sabendo que a medida do lado BC do triângulo é 14 cm , calcule as medidas dos lados AB e AC e o períme tro desse triângulo . A X - 1 Om m D 3 B x + 4 E X ​

Answer 1

Com base no Teorema de Tales e na fórmula de Bháskara, concluímos que o perímetro desse triângulo é 38 cm

Para esse resultado vamos precisar:

→ O Teorema de Tales diz que: A intersecção de um feixe de retas paralelas por duas retas transversais forma segmentos (entre as paralelas e equivalentes) proporcionais. Ou seja, a razão entre os segmentos formados em uma das transversais é igual à razão entre os segmentos equivalentes formados na outra transversal.

→ Cálculo da equação do 2º grau com fórmula de Bháscara:

  $\large \text { x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} }$           $\large Com:~~\Delta= b^2-4.a.c$

→ Perímetro equivale a soma das medidas dos lados de um polígono, ou seja, a medida do contorno.

Vamos à questão:

⇒ De acordo com o Teorema de tales:

$\large \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

$\large \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{x+4}{x}$

$\large (x-1)~.~x = 3~.~(x+4)$

$\large x^2 - x = 3x + 12$

$\large x^2 - x -3x = 12$

⇒ Calculando as raízes desta equação do 2º grau por Bháskara:

$\large x^2 -4x - 12 = 0$        a = 1,  b = -4,  c =

$\large \Delta= b^2-4.a.c$

$\large \Delta= (-4)^2-4.1.(-12)$

$\large \Delta= 16 + 48$

$\large \Delta= 64$

$\large \text { x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} \Rightarrow x= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt {64} }{2.1} \Rightarrow x= \dfrac{4 \pm 8 }{2} }$

$\large x_1= \dfrac{4 + 8 }{2} \Rightarrow x_1= \dfrac{12}{2} \Rightarrow x_1= 6$

$\large x_2= \dfrac{4 - 8 }{2} \Rightarrow x_2= \dfrac{-4}{2} \Rightarrow x_2= -2$

Como estamos tratando de medidas, o valor negativo não procede.

$\large Portanto, ~\boxed{x= 6}$

⇒ Finalmente calculando o Perímetro (P):

$\large P = AB + BC + CA$

$\large AB = x-1 + 3 \Rightarrow AB= 6 - 1 + 3 \Rightarrow AB = 8~cm$

$\large BC = 14 ~cm ~(conforme ~dado~ da~ quest\tilde{a}o)$

$\large CA = x + 4 + x \Rightarrow CA = 6 + 4 + 6 \Rightarrow CA = 16~cm$

$\large P = 8 + 14 + 16$

$\large P = \boxed{38~cm \Rightarrow Perimetro}$

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