Question

me ajudaaaa porr favorrrr

Cinco bolas com o mesmo diâmetro de 20 cm foram empilhadas sobre um plano horizontal ª da seguinte maneira: as quatro primeiras tangenciam o plano, e seus centros são vértices de um quadrado com 20 cm de lado; e a quinta bola tangencia cada uma das quatro primeiras, conforme mostra a figura. Calcule a altura dessa pilha de bolas, em relação ao plano a ª​

Answer 1

Resposta:

$10(2 + \sqrt{2})$ cm

Explicação passo a passo:

Os diâmetros são iguais, então os raios são iguais e valem a metade, ou seja 10 cm.

O enunciado disse que os centros formam um quadrado de lado 20, ou seja, as esferas estão todas se tangenciando pois seus raios formam (10+10).

Unindo os vértices, vemos que a figura que se forma é uma pirâmide de base quadrada (veja a figura).

Com isso, basta acharmos a altura (h) dessa pirâmide e somarmos com duas vezes o raio das esferas, que acharemos a altura total da pilha.

Se a base é um quadrado, podemos pegar metade da diagonal (d) e com ela fazer um Pitágoras para achar a altura (h).

A hipotenusa é a aresta lateral da pirâmide que é (10+10), afinal é a união de dois centros das esferas. Logo:

$diagonal \ de \ um \ quadrado = l\sqrt{2}\\\\d = (10+10)\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\\\\(10+10)^2 = (\frac{d}{2})^2 + h^2\\400 = (\frac{20\sqrt{2}}{2})^2 + h^2\\h^2 = 400-(10\sqrt{2})^2 = 400-(200)\\h = \sqrt{200}\\\bold{h = 10\sqrt{2}}$

Agora basta somar com 2 raios.

$Altura \ da \ pilha \ (x) = 10 + 10\sqrt{2} + 10\\\\x = 20 + 10\sqrt{2}\\\\\bold{x = 10(2 + \sqrt{2})}$