Question

Marcos, apaixonado por matemática, resolveu pedir sua namorada em casamento de uma forma original. Comprou um Tangram (quebra-cabeça) no formato de coração, constituído por nove peças: cinco setores circulares de mesmo raio, um quadrado, um trapézio retângulo, um paralelogramo e um triângulo retângulo, como mostra a figura:Três dos setores têm abertura de 90º, e os outros dois, de 45º.Antes de presenteá-la, no entanto, retirou um dos setores circulares de abertura 90º, como mostra a figura.Sabe-se que esse setor seria recolocado na hora do pedido.Usando π = 3, podemos afirmar que a razão entre a área do setor retirado e a área do quebra-cabeça completo é igual a:

Answer 1

Olá.

Por meio de pesquisas encontrei as imagens, que adiciono em anexo junto da pergunta completa.

Observado o Tangram em forma de coração é possível afirmar que:

- Os 5 setores formam uma circunferência completa;
- O coração é formado por uma circunferência e um quadrado;
- A parte retirada refere-se a 1/4 da circunferência do Tangram;
- O raio da circunferência é metade do lado do quadrado.

Com essas observações, podemos resolver essa questão. Devemos levar em consideração a fórmula para o cálculo da área do quadrado e da circunferência. Teremos:

$\mathsf{A_{\circ}=\pi\cdot r^2}\\\\\mathsf{A_{\square}=l^2}$

Onde:
r: raio;
l: lado do quadrado.

Para facilitar, irei chamar o raio de x.

- O lado do quadrado será 2x.
- A razão será dada pela divisão da parte retirada com a parte total (soma da circunferência com o quadrado). 

Vamos aos cálculos.

$\mathsf{\left(\dfrac{1}{4}\cdot\pi\cdot x^2\right)\div\left(\pi\cdot x^2+(2x)^2\right)=}\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{\pi\cdot x^2}{4}\right)\div\left(\pi\cdot x^2+(2x)^2\right)=}\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{3x^2}{4}\right)\div\left(3\cdot x^2+4x^2\right)=}\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{3x^2}{4}\right)\div\left(3x^2+4x^2\right)=}\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{3x^2}{4}\right)\div\left(7x^2\right)=}\\\\\\\mathsf{\left(\dfrac{3x^2}{4}\right)\cdot\dfrac{1}{7x^2}=}$

$\mathsf{\dfrac{3x^2}{4\cdot(7x^2)}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3x^2}{28x^2}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3\not\!\!x^2}{28\not\!\!x^2}=}\\\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{3}{28}}}$

A resposta correta, no gabarito, está na alternativa B.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.