Question

Márcia perguntou a sua irmã Qual a soma dos algarismos que representa a soma dos 21 primeiros números ímpares. Qual a resposta que Marcia obteve

Answer 1

Primeiramente vamos encontrar quais são os termos da soma. Os 21 primeiros números ímpares são

(1, 3, 5, 7, ... , a₂₁)

sendo  a₂₁  o último termo desta sequência, que é uma progressão aritmética com razão  r = 2, e  1º  termo  a₁ = 1.


Aplicando a fórmula do termo geral para  n = 21:

a_n = a₁ + (n – 1) · r

a₂₁ = a₁ + (21 – 1) · r

a₂₁ = a₁ + 20 · r

Substituindo os valores conhecidos, obtemos

a₂₁ = 1 + 20 · 2

a₂₁ = 1 + 40

a₂₁ = 41    <———    último termo da P.A.

—————

Agora, queremos encontrar a soma dos termos desta P.A.. Usamos a seguinte fórmula:
 
               (a₁ + a_n) · n
S_n  =  ————————
                       2

para n = 21, temos então que


            (a₁ + a₂₁) · 21
S₂₁  =  ————————
                        2

            (1 + 41) · 21
S₂₁  =  ————————
                        2


            42 · 21
S₂₁  =  —————
                2

            882
S₂₁  =  ———
              2

S₃₁ = 441   <———   esta é a soma dos 21 primeiros números ímpares.


A soma dos algarismos do valor desta soma é

4 + 4 + 1 = 9    <———    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)


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