Question

Mais uma questão de olimpíada, como "preparação" pra OBMEP, que se aproxima. Uma questão difícil, mas possível de se resolver. Segunda fase da OBM, nível 3 (modificada)

Seja $\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ uma função tal que f(1) = 1007 e $f(1)+f(2)+\ldots+f(n) =n^2.f(n)$ para todo n inteiro positivo. Determine o valor de f(2014).

Answer 1

Olá, Felipe.

$f(1) + ... + f(2013) + f(2014) = 2014\² f(2014)$
$(-)$
$f(1) + ... + f(2013) = 2013\² f(2013)$

$\Rightarrow f(2014) = 2014\² f(2014) - 2013\² f(2013)$

$\Rightarrow 2013\² f(2013) = (2014\² - 1) f(2014)$

$\Rightarrow\,f(2014)=\frac{2013\²}{2014\²-1}\cdot f(2013) = \frac{2013\cdot2013}{(2014+1)(2014-1)}f(2013)=\frac{2013}{2015}f(2013)$

Analogamente, teremos que:

$f(2013)=\frac{2012}{2014}f(2012)$

$f(2012)=\frac{2011}{2013}f(2011)$

$\vdots$

$f(2)=\frac{1}{3}f(1)$

Portanto:

$f(2014)=\frac{2013}{2015}f(2013)=\frac{2013}{2015}\cdot\frac{2012}{2014}f(2012)=\\\\=\frac{2013}{2015}\cdot\frac{2012}{2014}\cdot\frac{2011}{2013}f(2011)=\frac{2013}{2015}\cdot\frac{2012}{2014}\cdot\frac{2011}{2013}\cdot\frac{2010}{2012}f(2010)=...=\\\\ =\frac{2013!}{2015\cdot2014\cdot...\cdot3}f(1)=\frac{2013!}{\frac{2015!}{2}}f(1)=2013!\cdot\frac{2}{2015\cdot2014\cdot2013!}f(1)=\\\\ =\frac{1}{2015\cdot1007}\cdot1007=\boxed{\frac1{2015}}$