Question

(MACKENZIE - SP)O conjunto dos números reais, para os quais a função f(x)= log x-5 de base
(x² + 5x+4)/(x² -1)
Está definida, é?

Answer 1

O conjunto dos números reais, para os quais a função $f(x) = log_{x+5}(\frac{x^2+5x+4}{x^2-1})$ está definida, é {x ∈ IR / -5 < x < -4 ou x > 1}.

A função é $f(x) = log_{x+5}(\frac{x^2+5x+4}{x^2-1})$.

Solução

A definição de logaritmo é:

• logₐ(b) = x, com a > 0, a ≠ 1 e b > 0.

A base do logaritmo é x + 5. Sendo assim, temos que:

x + 5 > 0

x > -5

e

x  + 5 ≠ 1

x ≠ -4.

Agora, vamos analisar o logaritmando.

Para isso, temos a seguinte inequação:

(x² + 5x + 4)/(x² - 1) > 0.

Veja que x² + 5x + 4 será positiva no intervalo (-∞,-4) U (-1,∞). Já a função x² - 1 será positiva no intervalo (-∞,-1) U (1,∞).

Então, a interseção entre os dois intervalos é (-∞,-4) U (1,∞).

Fazendo a interseção entre os intervalos (-5,∞), x ≠ -4 e (-∞,-4) U (1,∞), concluímos que a função f está definida no intervalo -5 < x < -4 ou x > 1.