Question

(Mack-SP) (1+i/1-i)102 , com i=*-1 é igual a :
a) i
b) -i
c) 1
d) 1+
e) -1

obs: 102 é elevado, e *-1 é raiz

Answer 1

Olá,

lembrando que para dividir um complexo por outro, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador (conjugado de um número complexo é a inversão de sinal da parte imaginária) z=a+bi .:. _z=a-bi. Com isto temos que..

$\left( \dfrac{1+i}{1-i}\right)^{102}=\left\{ \dfrac{(1+i)\cdot(1+i)}{(1-i)\cdot(1+i)}\right\}^{102}\\\\ \Rightarrow\left( \dfrac{1+i}{1-i\right)^{102}}= \left(\dfrac{1+i+i+i^2}{1-i^2}\right)^{102}\\\\ lembre-se~i^2=-1\\\\\ \Rightarrow\left( \dfrac{1+i}{1-i}\right)^{102}=\left( \dfrac{1+2i-1}{1+1}\right)^{102}\\\\ \Rightarrow\left( \dfrac{1+i}{1-i}\right)^{102}=\left( \dfrac{2i}{2}\right)^{102}\\\\ \Rightarrow\left( \dfrac{1+i}{1-i}\right)^{102}=i^{102}$

Agora, divida 102 por 4, o resto dessa divisão será o expoente de i..

  102 |__4__
-   8 |      25
     22
    -20
       2 -------  expoente de i

$\Rightarrow\left( \dfrac{1+i}{1-i}\right)^{102}=i^2\\\\\\ \Large\boxed{\boxed{\left( \dfrac{1+i}{1-i}\right)^{102}=-1}}$

E portanto alternativa E.

Tenha ótimos estudos ;D