Question

Log -x^2+2x na base x-1

Answer 1

$f(x)=log_{(x-1)}(-x^{2}+2x)$

O domínio de uma função é o conjunto dos valores que x pode assumir, de modo que a função fique bem definida

Por se tratar de um logaritmo, devemos ter:

- base maior que zero e diferente de 1
- logaritmando maior que zero

Para a base ser maior que zero, devemos ter:

$x-1~\textgreater~0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x~\textgreater~1}}$

A base também deve ser diferente de 1:

$x-1\neq1~~~\therefore~~~x\neq1+1~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x\neq2}}$
____________

O logaritmando deve ser um número positivo:

$-x^{2}+2x~\textgreater~0$

Note que - x² + 2x tem uma parábola como gráfico, e possui duas raízes distintas (0 e 2). Como o coeficiente de x² é negativo, a parábola tem concavidade para baixo, então y = - x² + 2x é positiva entre as raízes e negativa no resto do domínio (excluIndo as raízes).

Logo:

$-x^{2}+2x~\texgreater~0~~~~se~~0~\textless~x~\textless~2$
_____________________________

Portanto, devemos ter:

$x~\textgreater~1,~~x\neq2,~~0~\textless~x~\textless~2$

Temos que achar a interseção desses conjuntos (pois a interseção satisfará todas as condições para que o logaritmo esteja definido). Se colocarmos os conjuntos em retas, vemos facilmente que a interseção entre eles é o conjunto (1, 2).

Portanto, o domínio de f é o conjunto:

$\boxed{\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}~/~1~\textless~x~\textless~2\}}}$