Question

Log (x-1) de base 1/3 > log (2x+3) de base 1/3?

Answer 1

Como as bases são iguais e menores que 1, $(\frac{1}{3}\ \textless \ 1)$, podemos fazer a desigualdade com o sinal trocado com os logaritmandos. Veja:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\ \textgreater \ \log_{\frac{1}{3}}(2x+3)\\\\ ~~~~~~~(x-1)\ \textless \ (2x+3)\\\\ \Longrightarrow -1-3\ \textless \ 2x-x\\\\ \Longrightarrow \boxed{x\ \textgreater \ -4}~~(i)$

Mas ainda temos que ver a condição de existência dos logaritmos da expressão original. Para que exista uma expressão como $\log_b a$, é necessário que $a\ \textgreater \ 0$ e $b\ \textgreater \ 0,b\neq1$. Logo, analisando cada um dos logaritmos:

$\bullet~\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\Rightarrow x-1\ \textgreater \ 0\Rightarrow \boxed{x\ \textgreater \ 1}~~(ii)\\\\ \bullet~\log_{\frac{1}{3}}(2x+3)\Rightarrow 2x+3\ \textgreater \ 0\Rightarrow 2x\ \textgreater \ -3\Rightarrow \boxed{x\ \textgreater \ -\dfrac{3}{2}}~~(iii)$

Juntando todas as condições das expressões (i), (ii) e (iii), temos a resposta final: $\boxed{\boxed{x\ \textgreater \ 1}}\Longrightarrow S=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ \textgreater \ 1\}$