Question

Log de 2 na base 3 + log de (x-5) na base 3 = 2?
$log_3 2 + log _3 (x-5) = 2$

Answer 1

Resolver a equação logarítmica:

$\mathrm{\ell og}_{3\,}2+\mathrm{\ell og}_{3\,}(x-5)=2$


$\bullet\;\;$ Condições de existência do logaritmo:

A base do logaritmo deve ser positiva, e diferente de $\mathbf{1};$

O logaritmando deve ser positivo:

$x-5>0 \;\;\Rightarrow\;\; x>5$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a equação:

$\mathrm{\ell og}_{3\,}2+\mathrm{\ell og}_{3\,}(x-5)=2$


Aplicando a propriedade do logaritmo do produto no lado esquerdo,

$\mathrm{\ell og}_{3\,}[2\cdot (x-5)]=2\\ \\ \mathrm{\ell og}_{3\,}[2x-10]=2\cdot 1 \\ \\ \mathrm{\ell og}_{3\,}[2x-10]=2\cdot \mathrm{\ell og}_{3\,}3\\ \\ \mathrm{\ell og}_{3\,}[2x-10]=\mathrm{\ell og}_{3\,}(3^{2})\\ \\ \mathrm{\ell og}_{3\,}[2x-10]=\mathrm{\ell og}_{3\,}9$


Logaritmos de mesma base são iguais, se e somente se, os logaritmandos forem iguais. Então, igualando os logaritmandos, temos

$2x-10=9\\ \\ 2x=9+10\\ \\ 2x=19\\ \\ x=\dfrac{19}{2}$


Como $\dfrac{19}{2}>5,$ então a solução acima satisfaz as condições de existência. Logo, o conjunto solução é

$S=\left\{\dfrac{19}{2} \right \}$