Question

Lista de Exercícios- Limites trigonométricos
Calcule o limite abaixo.

1C)

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen^2(\frac{x}{2} )}{x^2} \right) }$

Answer 1

Usando o limite fundamental da trigonometria podemos concluir que quando X tende a a função tenderá para

$\Large\text{\boxed{\boxed{\frac{1}{4} }}}$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite trigonométrico

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen^2(\frac{x}{2} )}{x^2} \right) }$

Perceba que se substituirmos X por 0 a função tenderá a uma indeterminação

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen^2(\frac{x}{2} )}{x^2} \right)\Rightarrow \left(\dfrac{Sen^2(\frac{0}{y} )}{0^2} \right)\Rightarrow\dfrac{Sen^2(0)}{0} \Rightarrow \dfrac{0}{0}? }$

• (Lembre-se que $\boxed{Sen(0)=0}$)

Então temos que usar alguma propriedade matemática para resolver essa indeterminação

Para resolver esse limite, é bastante simples basta lembrarmos do limite fundamental da trigonometria

$\large\text{ \boxed{\lim_{\theta\to0}\dfrac{Sen(\theta)}{\theta}=1 } }$

Com isso em mente vamos responder a questão

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen^2(\frac{x}{2} )}{x^2} \right)\Rightarrow \dfrac{Sen(\frac{x}{2} )\cdot Sen(\frac{x}{2} )}{x\cdot x} \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(\frac{x}{2}) }{x}\right)\cdot \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(\frac{x}{2}) }{x}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(\frac{x}{2}) \cdot \dfrac{1}{2} }{x\cdot \dfrac{1}{2} }\right)\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(\frac{x}{2})\cdot \dfrac{1}{2} }{x\cdot \dfrac{1}{2} }\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot Sen\left(\frac{x}{2}\right) }{ \dfrac{x}{2} }\right)\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot Sen(\frac{x}{2}) }{\dfrac{x}{2} }\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{\theta\to0}\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot Sen\left(\theta\right) }{\theta }\right)\cdot\lim_{\theta\to0}\left(\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot Sen(\theta) }{\theta}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{\theta\to}\left(\dfrac{1}{2} \cdot 1\right)\cdot\lim_{\theta\to}\left(\dfrac{1}{2} \cdot 1\right)\Rightarrow \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{4}} }$

• Lembrando que podemos considerar $\boxed{\dfrac{x}{2}=\theta}$

Assim concluímos que quando X tende a 0 a função tenderá para $\dfrac{1}{4}$

Vou anexar uma imagem mostrando o gráfico da função. Perceba que quando X tender a 0 a função vai  está em $\dfrac{1}{4}$

Aprenda mais sobre limites trigonométricos  aqui:.

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