Question

LIMITEEES Seja g(x) = $\sqrt{x}sen \frac{1}{x}$
A) Existe o $\lim_{x \to \infty} g(x)$? Se existe, calcule o imite usando o Teorema do Confronto. Se não existe, explique por que com argumentos de cálculo.
B) Existe $\lim_{x \to \ -OO}g(x)$? Se existe, calcule o imite usando o Teorema do Confronto. Se não existe, explique por que com argumentos de cálculo.

Answer 1

Resposta:

A) Existe e é zero

B) Não faz sentido pois g(x) não está definida para x < 0

Explicação passo-a-passo:

A)

Para π/2 > θ ≥ 0, vamos partir da seguinte desigualdade:

sen θ ≤ θ ≤ tan θ    ( I )

Sendo x = 1/θ, segue que para 2/π < x vale:

sen(1/x) ≤ 1/x ≤ tan (1/x)

Dividindo tudo por sen(1/x) temos:

$1 \leq \dfrac{1}{x \sin \left( \frac 1x \right)} \leq \dfrac{1}{\cos ( \frac 1x )}$

Agora elevando a -1 fica:

$1 \geq x \sin (\frac 1x ) \geq \cos (\frac 1x)$

Agora podemos colocar g(x) na desigualdade acima:

$1 \geq g(x) \sqrt x \geq \cos (\frac 1x) \\[2ex]\dfrac 1{\sqrt x} \geq g(x) \geq \dfrac{\cos (\frac 1x)}{\sqrt x}$

Agora podemos usar o teorema do confronto:

$\begin{cases} \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac 1{\sqrt x} = 0 \\[2ex] \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos (\frac 1x)}{\sqrt x} = 0 \end{cases} \implies \displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$

Ou seja o limite da zero.

Agora vou explicar da onde saiu a desigualdade ( I ). Essa desigualdade é a mesma que costuma-se usar pra provar o limite trigonométrico fundamental:

$\displaystyle \lim_{ x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} =1$

A explicação a seguir é mais ou menos "informal", mas é a que costuma ter no livros de calculo. Observe na figura, a circunferência unitária. Para ângulos θ no primeiro quadrante, o segmento AH tem medida sen θ. Já o arco AB mede θ radianos, logo seu comprimento também é θ, já que o raio é 1. Além disso o segmento BT tem medida tan θ. Disso (da figura) segue que

AH ≤ AB ≤ BT ⇒ sen θ ≤ θ ≤ tan θ

Obs.: embora esteja sem o sinal no enunciado, estou assumindo os limites para + infinito.

B) Essa pergunta não faz sentido, porque g(x) não está definida para valores negativos de x, por causa da raiz quadrada. Em outras palavras: g(x) não existe para x < 0. Assim, não faz sentido falar em lim g(x) quando x tende a - infinito.