Question

lim x²-5x+4
_________
x-1

Answer 1

$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x-1}$

Vamos achar as raízes do numerador:

$x^{2}-5x+4=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}=\dfrac{5\pm3}{2}~\begin{cases}x=\frac{5+3}{2}=4\\\\x=\frac{5-3}{4}=1\end{cases}$

Podemos escrever o polinômio como função de suas raízes:

$\boxed{\boxed{x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)}}$

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$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x-4)}{x-1}$

Como estudamos o valor da função em um ponto arbitrariamente próximo de 1, mas diferente de 1, podemos cancelar $x-1$, pois $x\neq1$

$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1\cdot(x-4)}{1}\\\\\\\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x-4)\\\\\\\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x-1}=1-4\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^{2}-5x+4}{x-1}=-3}}$