Question

Lim ⇒2 = X²-5x+6 / x²-12+20

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jack, que a resolução é simples.
Pede-se:

lim (x²-5x+6)/(x²-12x+20)
x-->2

Veja: se formos substituir diretamente o "x' por "2", vamos encontrar algo como "0/0", o que é uma indeterminação. Então deveremos procurar levantar essa indeterminação.
Note que as duas equações (tanto a do numerador como a do denominador) poderão ser expressas em função de suas raízes.
Antes veja que uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax³+bx+c, com raízes iguais a x' e a x'', ela será expressa em função de suas raízes do seguinte modo:

ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'')

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então note que a equação do numerador (x²-5x+6) tem raízes iguais a "2" e "3". Assim, ela será expressa em função de suas raízes da seguinte forma: x²-5x+6 = 1*(x-2)*(x-3) = (x-2)*(x-3).
Por sua vez a equação do denominador (x²-12x+20) tem raízes iguais a "2" e "10". Então ela será expressa em função de suas raízes do seguinte modo:
x²-12x+20 = 1*(x-2)*(x-8) = (x-2)*(x-10).

Dessa forma, vamos para a expressão inicial e vamos colocar as duas equações já expressas em função de suas raízes. Então a expressão inicial ficará assim:

lim [(x-2)*(x-3)]/[(x-2)*(x-10)]
x-->2

Simplificando-se (x-2) do numerador com (x-2) do denominador, iremos ficar apenas com:

lim (x-3)/(x-10)
x-->2

Note que agora, poderemos substituir o "x' por "2" à vontade e não teremos mais o problema da indeterminação. Ou seja, a indeterminação, com isso, já está levantada. Então, substituindo-se o "x' por "2", teremos:

lim (x-3)/(x-10) = (2-3)/(2-10) = (-1)/(-8) = 1/8 <--- Esta é a resposta.
x-->2

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.