Question

João tem 36 m de tela e deseja fazer um cercado no formato retangular. Qual a maior área que ele pode atingir, sabendo que ele vai aproveitar um muro que já está construído como um dos lados desse terreno?
A. 130 m2.
B. 160 m2.
C. 154 m2.
D. 144 m2.
E. 162 m2.

Answer 1

Como um dos lados do muro já está construído, temos que a quantidade de cerca gasta é dada por

2C+L=36

L=36-2C (*)

A área do terreno é dada por

A(C,L)=C·L (**)

Temos uma função com duas variáveis independentes, mas queremos trabalhar com uma função de uma variável apenas. Então, substituindo (*) em (**)

A(C)=C·(36-2C)

A(C)=36C-2C²

Para deixar a equação numa forma familiar definimos que x=C e y(x)=A(C). Temos uma equação do segundo grau.

y(x)=-2x²+36x

Cujos coeficientes são

a=-2

b=36

c=0

Para obter o 'x' tal que 'y(x)' é máximo, temos que obter o 'x' onde a derivada se anula ou não existe.

y(x)=ax²+bx+c (***)

y'(x)=2ax+b

2ax+b=0

x=-b/2a (****)

Substituindo (****) em (***)

y(-b/2a)=a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c

y(-b/2a)=b²/4a - b²/2a + c

y(-b/2a)=(-b²+4ac)/4a

Portanto, a maior área que pode ser atingida é

y(x)= (-36²+4·(-2)·0)/(4·(-2))

y(x)=162 m²