Question

João propôs um desafio a Pedro. Criou uma sequência numérica em forma de triângulo e o desafiou a determinar o valor do primeiro termo da 21ª linha da sequência descrita na figura abaixo que tem o número 1 na primeira linha; os números4 e7 na segunda linha; os números 10 , 13, 16 na terceira linha e assim por diante. Qual é esse número?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, José Júlio, que as filas (sequências) em forma de triângulo estariam organizadas assim:

1ª fila: 1
2ª fila: 4; 7
3ª fila: 10; 13; 16
4ª fila: 19; 22; 25; 28
5ª fila: 31; 34; 37; 40; 43.
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E assim vai até a 21ª fila.
Note que, juntando os termos de todas as filas, vamos ter uma PA, cujo primeiro termo é igual a "1" e cuja razão é igual a "3" (pois a diferença entre cada termo consequente e o seu respectivo antecedente dá sempre igual a "3").
Veja, também, que cada sequência tem o número de termos exatamente igual à ordem da fila. Ou seja: na 1ª fila há um termo; na 2ª fila há 2 termos; na 3ª fila há 3 termos; na 4ª fila há 4 termos;na 5ª fila há 5 termos; etc, etc, etc.
Assim, seguindo essa lei de formação, vamos ter 21 termos na 21ª fila.

Mas você há de convir que, se formos tomar cada fila e, em cada uma, enumerar todos os seus termos, vai dar um trabalho "danado". Aliás, se fosse pra fazer desse modo, então a questão não seria um desafio proposto por João a Pedro. Seria um trabalho meramente "braçal", não é?

Embora a nossa resposta que daremos abaixo, pareça um pouco longa, estamos nos permitindo fazer isso para maior clareza e, consequentemente, para melhor entendimento de quem postou a pergunta.
Então vamos lá.

i) Note que se você tomar apenas primeiro termo de cada fila, vamos ter uma PA de segunda ordem (aquela em que a diferença entre os seus termos dá uma PA de primeira ordem).
Veja que o 1º termo da 1ª fila é "1"; o 1º termo da 2ª fila é "4"; o 1º termo da 3ª fila é "10"; o 1º termo da 4ª fila é "19"; o 1º termo da 5ª fila é "31"; ......

Assim, teremos a seguinte sequência, que será uma PA de 2ª ordem:

1; 4; 10; 19; 31; ........, pois a diferença entre cada termo dá uma PA de 1ª ordem, veja:

4-1 = 3; 10-4 = 6; 19-10 = 9; 31-19 = 12.

Note que a diferença entre cada termo da sequência acima dá a seguinte PA de 1ª ordem:

(3; 6; 9; 12; ........) <--- Veja é uma PA, cujo 1º termo é "3" e cuja razão também é "3".


ii) Agora note uma coisa importante (ou importantíssima): se você somar os "n" primeiros termos da PA de 1ª ordem acima, e depois adicionar MAIS uma unidade, você chegará ao primeiro termo da fila seguinte.
Por exemplo:

ii.a) se você somar os dois primeiros termos da PA acima, teremos: 3+6 = 9
Agora somaremos "1" ao "9" e obteremos: 1+9 = 10 <--- Então este é o 1º termo da 3ª fila;

ii.b) se você somar os três primeiros termos da PA acima, teremos: 3+6+9 = 18. Agora somaremos "1" unidade ao "18" e obteremos: 1+18 = 19 <--- Então este é o 1º termo da 4ª fila;

ii.c) se você somar os quatro primeiros termos da PA acima, teremos: 3+6+9+12 = 30. Agora somaremos "1" unidade ao "30" e obteremos: 1+30 = 31 <---- Então este é o 1º termo da 5ª fila.

E assim vai, seguindo esta lei de formação.


iii) Nesse caso, vamos calcular qual será o 20º termo da nossa PA (3; 6; 9; 12; .....). Depois somaremos os termos da nossa PA acima e, a essa soma, somaremos MAIS uma unidade e obteremos o 1º termo da 21ª fila. CERTO?

Vamos, pois, obter o valor do 20º termo da nossa PA (3; 6; 9; 12; ......), aplicando-se a fórmula do termo geral de uma PA, que é esta:

an = a1 + (n-1)*r ----- fazendo as devidas substituições para encontrar o "a20", teremos:

a20 = 3 + (20-1)*3
a20 = 3 + (19)*3
a20 = 3 + 57
a20 = 60 <---- Este é o 20º termo da nossa PA (3; 6; 9; 12; .....)

Agora vamos encontrar a soma dos 20 primeiros termos da PA acima, pela fórmula da soma dos termos de uma PA, que é dada por;

Sn = (a1 + an)*n/2 ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
S20 = (3 + 60)*20/2
S20 = (63)*10 ---- ou apenas:
S20 = 63*10
S20 = 630 <--- Esta é a soma dos 20 primeiros termos da PA acima.

Agora somaremos "1" unidade a 630 e encontramos qual é o primeiro termo da 21ª fila da original. Assim:

630 + 1 = 631 <---- Esta é a resposta. Este será o 1º termo da 21ª fila do desafio que João propôs a Pedro.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.