Question

Joana precisa cadastrar uma senha de 6 caracteres. Para tanto, ela pode escolher entre as letras X, Y, e Z e os algarismos 1, 2, 3 e 4, sem utilizar repetição. A quantidade de opções de senhas disponíveis, se Joana optar por usar as três letras juntas, em qualquer ordem, será de:
Gabarito = 576.

Pelo meu raciocino se as letras fossem em ordem, teríamos 5! = XYZ 4 3 2 = 120 possibilidades. Como as letras podem permutar entre si, seria 5! * 3! = 720
Onde está o erro?

Answer 1

A quantidade de opções de senhas disponíveis, se Joana optar por usar as três letras juntas, em qualquer ordem, será de 576.

De acordo com o enunciado, as senhas formadas devem conter as letras X, Y e Z juntas.

Sendo assim, temos as seguintes possibilidades:

X Y Z _ _ _

_ X Y Z _ _

_ _ X Y Z _

_ _ _ X Y Z.

Observe que, em cada caso acima, as letras X, Y e Z podem se permutar de 3! = 6 maneiras.

Então, temos um total de 6.4 = 24 possibilidades.

Temos disponíveis 4 números. Dito isso:

Para o primeiro traço, existem 4 possibilidades;

Para o segundo traço, existem 3 possibilidades;

Para o terceiro traço, existem 2 possibilidades.

Portanto, o total de senhas possíveis é igual a 24.4.3.2 = 576.