Question

(ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz. Sabendo-se que o volume do cone é 128π m3, determine a medida do raio da base e da altura desse cone.

Answer 1

Vamos à resolução da questão proposta.

Sabemos que a medida do raio da base do cone circular reto é igual à média aritmética dos comprimentos da altura e geratriz do mesmo. Listaremos abaixo, todos os dados explícitos no enunciado do problema.

O raio da base é dado por “r”;

A altura é dada por “h”;

A geratriz é dada por “g”;

O volume do cone é dado por “V”;

Com isso, obteremos:

r=(g+h)/2 <=>

2r=h+g (i) <=>

4r^(2)=g^(2)+2gh+h^(2) <=>

4r^(2)=h^(2)+r^(2)+2gh+h^(2) <=>

3r^(2)=2h^(2)+2gh <=>

3r^(2)=2h(h+g) (De (i)) <=>

3r^(2)=2h(2r) <=>

3r^(2)=4rh <=>

3r=4h (ii) <=>

9r^(2)=16h^(2) (iii)

e

V=[pi.r^(2).h]/3=128pi <=>

[r^(2).h]/3=128 <=>

r^(2).h=(3).(128) <=>

9r^(2).h=(9).(3).(128) (iv)

Substituindo (iii) em (iv), obteremos:

9r^(2).h=(9).(3).(128) e 9r^(2)=16h^(2) =>

16h^(2).h=(9).(3).(128) <=>

16h^(3)=(9).(3).(128) <=>

h^(3)=(9).(3).(8) <=>

h^(3)=6^(3) <=>

h=6 metros (iv)

Substituindo em (i), o valor de “h” encontrado em (iv), teremos o valor do raio “r”. Com isso, obteremos:

3r=4h e h=6 metros =>

3r=24 <=>

r=24/3 <=>

r=8 metros

O raio da base do cone mede 8 metros e a altura tem comprimento igual a 6 metros.

Abraços!