Question

Indique a função que é solução da equação diferencial y" - 4y' + 4y = ex.




y(x) = xe2x + ex




y(x) = e-2x


y(x) = e2x + xex




y(x) = e2x




y(x) = e2x + ex

Answer 1

Olá,

Primeiro calculando a solução homogênea teremos:

$y^{2}-4y+4=0 \\\\ Raiz1=2 \\\\ Raiz2=2$

Repare que encontramos duas raizes iguais, logo na solução homogênea devemos multiplicar um dos termos por x, vejamos:

Solução homogênea= $C1e^{2x}+C2xe^{2x}$

Agora devemos calcular a solução particular, usaremos o método dos dos coeficientes indeterminados.

e^x é uma constante A multiplicando e^x, logo teremos:

$y(x)=Ae^{x} \\\\ y'(x)=Ae^{x} \\\\y''(x)= Ae^{x}$

Note que todas as derivadas são iguais. Agora vamos substituir na equação principal, vejamos:

$Ae^{x}-4Ae^{x}+4Ae^{x}=e^{x} \\ \\ Ae^{x}=e^{x}\\ \\ A=1$

Como já era de se esperar, encontramos A=1, logo a solução da equação particular é e^x.

A solução geral é a soma da homogênea mais a particular, logo teremos como solução geral:

$Sgeral=C1e^{2x}+C2xe^{2x}+e^{x}$

Nenhuma das respostas é coerente com a solução geral encontrada, portanto revise sua questão e veja se há algum erro de digitação, ou dado faltando. Espero ter ajudado.