Question

Indagado com o número de ovelhas que possuía, um fazendeiro respondeu:
Não sei exatamente. Só sei que é menos que uma centena e, quando conto de duas em duas, sobra uma; quando conto de três em três, sobra uma e, quando conto de cinco em cinco, também sobra uma. Mas, quando conto de sete em sete, não sobra nenhuma.
É correto afirmar que:

Answer 1

O FAZENDEREIRO POSSUI 95 OVELHAS,, POIS 95 NÃO E DIVISEL NEM POR 2 E NEM POR 3

Answer 2

Questão de divisibilidade e divisão de números :D

i) Lembra-se da prova real da divisão? Seja $D$ o dividendo e $d$ o divisor. Ao realizar a divisão você encontra quociente $q$ e resto $r$. Pra saber se a divisão que você fez está certa tem que acontecer o seguinte:

$D=d.q+r$

Digamos que o fazendeiro tenha $n$ ovelhas. Isso quer dizer que $D=n$. Agora vamos analisar três casos:

I) $d=2$ (quando o fazendeiro conta as ovelhas de 2 em 2)
$n=2.q_2+1\Rightarrow 2q_2=n-1$

(Vou colocar um índice nos quocientes, aquele número embaixo, pra diferenciar os quocientes das divisões nos três pontos. Diferentes divisores, diferentes quocientes :P)

II) $d=3$ (quando o fazendeiro conta de 3 em 3)
$n=3.q_3+1\Rightarrow 3q_3=n-1$

III) $d=5$ (quando ele conta de 5 em 5)
$n=5.q_5+1\Rightarrow 5q_5=n-1$

O que podemos obter de informação a partir dos pontos acima? Que $n-1$ é múltiplo comum de 2, 3 e 5, ou ainda, que $n-1$ é múltiplo de mmc(2,3,5). Calculando mmc(2,3,5) encontramos 30, isso quer dizer que, para $k$ inteiro, teremos:

$\boxed{n-1=30k\Rightarrow n=30k+1}$

ii) O fazendeiro disse, também, que possui menos de 100 ovelhas, uma centena. Temos, então, apenas três possíveis valores para $k$ para que $n$ seja menor que 100.

a) $k=1$
$n=30.1+1\Rightarrow \boxed{n=31}$

b) $k=2$
$n=30.2+1\Rightarrow \boxed{n=61}$

c) $k=3$
$n=30.3+1\Rightarrow \boxed{n=91}$

Temos três possíveis valores para o número de ovelhas, mas ainda não usamos a última informação, que quando as ovelhas são contadas de 7 em 7 não sobra nenhuma. Isso quer dizer que $n=7q_7$, onde esse $q_7$ é um número inteiro.

iii) Analisando as três possibilidades para o valor de $n$ encontramos apenas uma que satisfaça a última condição, a de 7 em 7, portanto esse é o número de ovelhas. Perceba que $91=7.13$, daí

$\boxed{\boxed{n=91}}$