Question

(IFSC/2017)Três caçadores (como são denominadas as pessoas que jogam Pokémon Go) A, B e C estão se entretendo com esse jogo em um loteamento onde as ruas formam uma malha quadrangular, como representada na figura a seguir.(Imagem anexada).

Sabendo-se que em determinado momento as coordenadas dos caçadores, como representadas na figura, são: A(5,10), B(3,6) e C(11,12), assinale no cartão-resposta a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. No momento descrito, um Pokémon está sobre a reta que passa pelos caçadores B e C. Então, a menor distância que ele pode estar do caçador A é 2 unidades de comprimento.

02. A área do triângulo formado pela localização dos três caçadores de Pokémon é 20 unidades de área.

04. A distância entre os caçadores B e C é 8 unidades de comprimento.

08. Se um Pokémon está sobre a circunferência que tem como centro o caçador A e passa pelo caçador B, então (x-3)²+(x-6)²= 20 é a equação desse lugar geométrico.

16. No momento descrito, um Pokémon está sobre a mediatriz do segmento de reta formado pelos caçadores A e B. Então a equação dessa mediatriz é x+2y-20=0. 32. Se um Pokémon está no centro da circunferência que passa pelos três caçadores, ele está no Ponto (10,5).

Gabarito:49(01+16+32)

Preciso muito da resolução com os cálculos de cada item,por favor.

Answer 1

01. Correta

Vamos determinar a equação da reta que passa por $\text{B}$ e $\text{C}$

$m=\dfrac{y_\text{C}-y_\text{B}}{x_\text{C}-x_\text{B}}=\dfrac{12-6}{11-3}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$

$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

$y-6=\dfrac{3}{4}\cdot(x-3)~\longrightarrow~4y-24=3x-9~\longrightarrow~3x-4y+15=0$

A menor distância de $\text{A}(5,10)$ até essa reta é:

$\text{d}=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{b^2+c^2}}=\dfrac{|3\cdot5+(-4)\cdot10+15|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$

$\text{d}=\dfrac{|15-40+15|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{|-10|}{\sqrt{25}}=\dfrac{10}{5}=2$


02. Errada

$\text{D}=\left|\begin{array}{ccc}x_\text{A}&y_\text{A}&1\\x_\text{B}&y_\text{B}&1\\x_\text{C}&y_\text{A}&1\end{array}\right|~\begin{array}{cc}x_\text{A}&y_\text{A}\\x_\text{B}&y_\text{B}\\x_\text{C}&y_\text{C}\end{array}$

$\text{D}=\left|\begin{array}{ccc}5&10&1\\3&6&1\\11&12&1\end{array}\right|~\begin{array}{cc}5&10\\3&6\\11&12\end{array}$

$\text{D}=5\cdot6\cdot1+10\cdot1\cdot11+1\cdot3\cdot12-1\cdot6\cdot11-5\cdot1\cdot12-10\cdot3\cdot1$

$\text{D}=30+110+36-66-60-30$

$\text{D}=20$

Assim, a área do triângulo $\text{ABC}$ é $\dfrac{|20|}{2}=\dfrac{20}{2}=10$

04. Errada

$\text{BC}=\sqrt{(11-3)^2+(12-6)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\srt{64+36}=\sqrt{100}=10$


08. Errada

$(x-a)+(y-b)=r^2$

O centro dessa circunferência é o ponto $\text{A}(5,10)$ e $\text{AB}$.

$\text{AB}=\{(5-3)^2+(10-6)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$

Logo, a equação dessa circunferência é $(x-5)^2+(y-10)^2=20$

16. Correta

A mediatriz de $\text{AB}$ é perpendicular a esse segmento e passa pelo seu ponto médio.

O ponto médio de $\text{AB}$ é:

$\text{M}_{\text{AB}}=\left(\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2},\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}\right)=\left(\dfrac{5+3}{2},\dfrac{10+6}{2}\right)=\left(\dfrac{8}{2},\dfrac{16}{2}\right)=(4,8)$

Vamos determinar o coeficiente angular da equação dessa mediatriz.

$m_{\text{AB}}=\dfrac{y_\text{A}-y_\text{B}}{x_\text{A}-x_\text{B}}=\dfrac{10-6}{5-3}=\dfrac{4}{2}=2$

Duas retas perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é $-1$.

Assim, o coeficiente angular da equação dessa mediatriz é $-\dfrac{1}{2}$.

$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

$y-8=\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot(x-4)$

$2y-16=-x+4$

$x+2y-20=0$

32. Correta

$(x-a)+(y-b)=r^2$

Substituindo as coordenadas do ponto $\text{A}(5,10)$, obtemos:

$(5-a)^2+(10-b)^2=r^2$

$25-10a+a^2+100-20b+b^2=r^2$

$a^2+b^2-r^2=10a+20b-125~~~(\text{I})$

Substituindo as coordenadas do ponto $\text{B}(3,6)$, obtemos:

$(3-a)^2+(6-b)^2=r^2$

$9-6a+a^2+36-12b+b^2=r^2$

$a^2+b^2-r^2=6a+12b-45~~~(\text{II})$

Substituindo as coordenadas do ponto $\text{C}(11,12)$, obtemos:

$(11-a)^2+(12-b)^2=r^2$

$121-22a+a^2+144-24b+b^2=r^2$

$a^2+b^2-r^2=22a+24b-265~~~(\text{III})$

Igualando $(\text{I})$ e $(\text{II})$, obtemos:

$10a+20b-125=6a+12b-45$

$10a-6a+20b-12b=125-45$

$4a+8b=80~\longrightarrow~a+2b=20$

Igualando $(\text{I})$ e $(\text{III})$, obtemos:

$10a+20b-125=22a+24b-265$

$22a-10a+24b-20b=265-125$

$12a+4b=140~\longrightarrow~3a+b=35$

$\begin{cases}a+2b=20\\3a+b=35\end{cases}$

Multiplicando a segunda equação por $-2$:

$\begin{cases}a+2b=20\\3a+b=35~~~\cdot(-2)\end{cases}\longrightarrow~\begin{cases}a+2b=20\\-6a-2b=-70\end{cases}$

Somando as equações membro a membro:

$a-6a+2b-2b=20-70$

$-5a=-50~\longrightarrow~a=\dfrac{-50}{-5}~\longrightarrow~\boxed{a=10}$

Substituindo na primeira equação:

$a+2b=20~\longrightarrow~10+2b=20~\longrightarrow~2b=10~\longrightarrow~\boxed{b=5}$

Logo, o centro dessa circunferência é o ponto $\text{O}(10,5)$. 

Note que $r=\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}$

$\text{OC}=\sqrt{(11-10)^2+(12-5)^2}=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$

Deste modo, $r^2=50$ e a equação dessa circunferência é:

$(x-10)^2+(y-5)^2=50$

Portanto, a resposta é $01+16+32=49$