Question

I – Você responde a um teste de múltipla escolha que consiste em cinco questões. Cada questão tem
quatro respostas possíveis das quais apenas uma é correta. Para completar o teste, você “chuta”
aleatoriamente a resposta de cada questão. Obtenha a probabilidade de que:
a) exatamente três respostas estejam corretas; b) pelo menos três respostas estejam corretas; c)
menos que três respostas estejam corretas.

Answer 1

Resposta:

a) 45/512

b) 53/512

c) 459/512

Explicação passo-a-passo:

Seja C uma resposta correta e E uma resposta errada, como cada questão possui 1 alternativa correta e 3 erradas, então P(C) = 1/4 e P(E) =3/4

a) imagine as questões nessa ordem:

C C C E E.

Como são 5 questões, 3 corretas e 2 erradas, devemos levar em conta a permutação destas. Assim:

$P_{3C} =  (\frac{1}{4})^{3} *(\frac{3}{4})^{2} * \frac{5!}{3!2!}\\P_{3C} = \frac{1}{64} *\frac{9}{16} *\frac{5*4}{2} \\P_{3C}= \frac{45}{512}$

b) Como devem ser pelo menos 3, então levamos em conta os 3 casos a seguir:

1º caso: 3 alternativas corretas = 45/512

2º caso: 4 alternativas corretas: C C C C E = 15/1024

$P_{4C} = (\frac{1}{4})^{4}  *\frac{3}{4} *\frac{5!}{4!} \\P_{4C} = \frac{1}{256} *\frac{3}{4} *5\\P_{4C} = \frac{15}{1024}$

3º caso: 5 alternativas corretas: C C C C C = 1/1024

$P_{5C} = (\frac{1}{4})^{5} \\P_{5C} = \frac{1}{1024}$

Assim, para finalizar basta somar os 3 casos:

$P_{+3C} = \frac{45}{512} +\frac{15}{1024} +\frac{1}{1024} \\P_{+3C}=\frac{90+15+1}{1024} \\P_{+3C}=\frac{106}{1024} = \frac{53}{512}$

c) Para calcular a probabilidade de que menos que 3 alternativas estejam corretas, basta subtrair a probabilidade máxima (1) pela probabilidade de que pelo menos 3 alternativas estejam corretas (53/512). Assim:

$P_{-3C} = 1 - \frac{53}{512} \\P_{-3C} = \frac{512 - 53}{512}\\ P_{-3C} = \frac{459}{512}$