Question

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Answer 1

6.1.

Podemos formar um triângulo retângulo com os lados ABC, onde os catetos medem o comprimento $l$ do lado do cubo enquanto a hipotenusa é a distância entre A e C. Ficamos então com:

$l^2+l^2=(4-1)^2+[0-(-5)]^2+(-4-4)^2$

$2l^2=9+25+36$

$2l^2=98$

$l^2=49$

$l=7$

Sendo $V=l^3$, concluímos que $V=7^3=343\;\text{u.v}$

6.2.

Considerando $E=(x_E,y_E,z_E)$, os vetores $\vec{AE}=(x_E-1,y_E+5,z_E-4)$ e $\vec{CG}=(2-4,6-0,-1-(-4))=(-2,6,3)$ são paralelos, logo deve existir um número real $k$ tal que:

$\vec{AE}=k\cdot\vec{CG}$

$(x_E-1,y_E+5,z_E-4)=(-2k,6k,3k)$

$x_E-1=-2k;\\y_E+5=6k;\\z_E-4=3k$

A distância entre os pontos A e E deve ser igual a $l=7$, logo:

$(x_E-1)^2+(y_E+5)^2+(z_E-4)^2=7^2$

$(-2k)^2+(6k)^2+(3k)^2=49$

$4k^2+36k^2+9k^2=49$

$49k^2=49$

$k^2=1$

$k=\pm1$

Achamos então que $E=(-1,1,7)$ ou $E=(1,-11,1)$. Para definirmos qual destes é o verdadeiro, vamos lembrar do fato que a distância $[AC]=[EG]$, logo:

$(x_E-2)^2+(y_E-6)^2+[z_E-(-1)]^2=98$

$(x_E-2)^2+(y_E-6)^2+(z_E+1)^2=98$

Para $y_E=-11$, temos que $(y_E-6)^2=17^2$ e como $17^2>98$, esse resultado não é válido. Ficamos então com $E=(-1,1,7)$

6.3.

Como foi visto em 6.1., a distância $[AC]=\sqrt{98}\;\text{u.c}$, logo o raio da superfície é a metade desse valor, ou seja, $r=\sqrt{98}/2\;\text{u.c}$. Da mesma forma, o centro da superfície é o ponto médio entre A e C, logo:

$P_m=\left(\frac{1+4}{2},\frac{-5+0}{2},\frac{4+(-4)}{2}\right)$

$P_m=\left(\frac{5}{2},\frac{-5}{2},0\right)$

Obtendo assim a seguinte equação para a superfície:

$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\left(z-0\right)^2=r^2$

$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+z^2=\left(\frac{\sqrt{98}}{2}\right)^2$

$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+z^2=\frac{98}{4}$

$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+z^2=\frac{49}{2}$