Question

GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO

Sabendo que a diagonal da base e a diagonal do paralelepípedo reto retângulo a seguir medem 5 cm e 13 cm respectivamente, e que a medida da área ABEF é 48 cm2. Quais são os valores de L, C e H?

Answer 1

Sabemos que a diagonal da base é calculada por:

$\boxed{d_b = \sqrt{l^2+c^2}}$

A diagonal principal:

$\boxed{d_p= \sqrt{l^2+c^2+h^2}}$

Com isso, podemos montar um sistema:

$\left \{ {{l^2+c^2=25} \atop {l^2+c^2+h^2=169}} \right.$

Podemos multiplicar a primeira linha por (-1) e somá-la com a debaixo:

$l^2-l^2+c^2-c^2+h^2=169-25\\ \\ h^2=144\\ \\ h=\sqrt{144}\\ \\ \boxed{h=12~cm}$

Pronto, uma das medidas já foram encontradas. Agora, para encontrar o valor de "c", podemos substituir na área do retângulo, onde "c" é a base e "h" a altura.

$A_{abef} = c\cdot~h\\ \\ 12c=48\\ \\ c=\frac{48}{12}\\ \\ \boxed{c=4~cm}$

Ficou restando somente "l". Para descobri-lo, basta substituir em uma das equações:

$(d_b)^2 = l^2+c^2\\ \\ 5^2=l^2+4^2\\ \\ 25=l^2+16\\ \\ l^2=25-16\\ \\ l^2=9\\ \\ \boxed{l=3~cm}$

Portanto, o valor de L, C e H é nesta ordem, 3 cm, 4 cm e 12 cm.