Question

Geometria analitica I
1-Classifique em verdadeiro ou falso as afirma¸c˜oes, justificando sua resposta.
a. ( ) Dois vetores sempre s˜ao linearmente dependentes.
b. ( ) Todo vetor tem infinitos representantes.
c. ( ) Três vetores s˜ao sempre uma base.
d. ( ) A soma de dois versores ´e um versores.

2- Os vértices de um triˆangulo s˜ao os pontos P = (1, −1, 0), Q = (−2, −2, 4) e R = (3, −1, −2). Calcule a medida de cada lado deste triˆangulo e seu perímetro.

3- Dados os vetores ~u = (1, a, −2a − 1), ~v = (a, a − 1, 1) e ~w = (a, −1, 1), determine o valor de a para que seja satisfeita a igualdade ~u · ~v = (~u + ~v) · ~w.

4- Determine os valores poss´ıveis para m sabendo que os vetores ~u = (−4, m + 3, 1) e ~v = (1 − m², 1, 0) são ortogonais.

5- Dados os pontos A = (1, −2, 3), B = (5, 2, 5) e M = (−2, 4, 9). Obtenha as coordenadas dos pontos C e D, tal que A, B, C, D (nesta ordem) seja um paralelogramo, onde M ´e o ponto médio do segmento AC.

6- São dados os seguintes vetores: ~u = (2, 3, −1), ~v = (0, 2, −1), ~w = (3, 0, 0) e ~r = (5, 1, 2). Faça o que se pede.
a. Determine um vetor que tenha o sentido contrário e o dobro do tamanho do vetor ~r.
b. Determine o vetor ~a = −3~u + 4~v − ~w + 5~r.
c. Verifique se ~v e ~w s˜ao vetores paralelos.
d. Verifique se os vetores ~u, ~v e ~w formam uma base para o espaço (R³).

Preciso com urgência, me ajude por favor.

Answer 1

R.: 3'

~u = (1, a, −2a − 1), ~v = (a, a − 1, 1) e ~w = (a, −1, 1)

(1,a,-2ª-1) (a,a-1,1) = [(1,a,-2ª-1) + (a,a-1,1)] (a,-1,1)

(a+a (a-1) -2ª-1) =  [(a+1),a+a-1,2ª-1+1] (a,-1,1)

a+a²-a-2ª-1 = [a+1,2ª,-2ª] (a,-1,1)

a²-2ª-1 = a(a+1) - (2ª-1)-2ª

a²-a²-2ª-a+2ª+2ª = 1+1

a = 2