Question

galera, tô com uma dúvida aqui. Acabei de dar de cara com um exercício que diz o seguinte:
1. Considere um triângulo ABC em que A(-4,3), B(5,3) e C(-11,5)
a) Calcule o perímetro do triângulo ABC
b) Determine os pontos que correspondem aos vértices de um triângulo formado pelos pontos médios dos segmentos do triângulo ABC.
c) Determine o perímetro do triângulo definido no item anterior.
d) Compare o resultado obtido no item anterior com o perímetro do triângulo ABC calculado no item a. A que conclusão você chegou? É o que você esperava?

Eu não sei nem por onde começar!!!!!! Quem puder me explicar como fazer, me ajudar ... Fico grata desde agora ;)

Answer 1

Olá Karyne!

A distância entre dois pontos, $P=(x_1;y_1)$ e $Q=(x_2;y_2)$ pode ser calculada por:

$d_{PQ}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Assim, para o problema em questão temos que:

$d_{AB}=9\\d_{BC}=16,12452\\d_{AC}=7,28011$

O perímetro é a soma de todas essas distâncias, que é $Per=32,40463$.

Um ponto médio entre dois pontos, $P=(x_1;y_1)$ e $Q=(x_2;y_2)$, pode ser calculado utilizando:

$M_{PQ}=\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Assim, temos que para o triângulo em questão os pontos médios são:

$M_{AB}=(0,5;3)\\M_{BC}=(-3,4)\\M_{AC}=(-7,5;4)$

Agora utilizando a distância entre dois pontos calculamos:

$d_{M_{AB}M_{BC}}=3,64005\\d_{M_{BC}M_{AC}}=4,5\\d_{M_{AB}M_{AC}}=8,06226$

O perímetro do triângulo (menor) dos pontos médios é $Per_M=16,20231$.

Comparando com o primeiro perímetro percebe-se que é exatamente a metade do valor, ou seja, o triângulo formado pelos pontos médios dos lados de um triângulo tem as metade do perímetro original. (Acho que não era o que você esperava. Risos.)

Em tempo, em anexo, um esquema para compreensão do desenho no plano $\mathbb{R}^2$.

Abraço,

Douglas Joziel.