Question

(FUVEST)
Um apostador ganhou um prêmio R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo:
a) R$ 200.000,00.
b) R$ 175.000,00.
c) R$ 150.000,00.
d) R$ 125.000,00.
e) R$ 100.000,00.

COMO EU FAÇO O CÁLCULO?

Answer 1

$Como \ n\tilde{a}o \ foi \ informado \ , \ eu \ irei \ adotar \ esse \ processo \\ de \ capitaliza\c{c}\tilde{a}o \ como \ juros \ composto \ ( \ por \ ser \ o \\ modelo \ padr\tilde{a}o \ )$

$Em \ matem\acute{a}tica \ comercial \ temos \ : \\ \\ \boxed{M \ = \ C + J} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ \\ Onde \ \mathbf{M} \ representa \ o \ montante \ ; \ \mathbf{C} \ o \ capital \ ; \\ e \ \mathbf{J} \ os \ juros. \\ \\Temos \ em \ juros \ composto \ a \ seguinte \ express\tilde{a}o \ : \\ \\ \boxed{M \ = \ C.(1+i)^t } \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \\ Onde \ \mathbf{i} \ representa \ a \ taxa \ ; \mathbf{t} \ o \ tempo \ do \\ processo.$

$Substituindo \ (2) \ em \ (1) \ , \ temos : \\ \\ C.(1+i)^t \ = \ C + J \\ \\ \boxed{J \ = \ C.(1+i)^t-C } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ \\ Isso \ que \ eu \ fiz \ foi \ desenvolver \ uma \ express\tilde{a}o \ que \\ coloca \ os \ juros \ em \ fun\c{c}\tilde{a}o \ do \ capital .$

$Ao \ final \ do \ processo \ temos \ que \ ter \ um \ montante \\ de \ pelo \ menos \ 1.072.000,00 \ reais \ ( \ sendo \ que \\ 1.000.00,00 \ reais \ \acute{e} \ inicial \ e \ 72.000,00 \ os \ juros \\\ obtidos \ nesse \ processo \ ). \ Logo$

$M_P+M_I \geq 1.072.000 \\ \\ Onde \ \mathbf{M_P} \ , \ \mathbf{C_P} \ , \ \mathbf{J_P} \ e \ \mathbf{i_P} \ referem-se \ aos \\ procedimentos \ da \ poupan\c{c}a \ . \ Enquanto \ que \ \mathbf{M_F} \ , \ \mathbf{C_F} \ , \\ \mathbf{J_F} \ e \ \mathbf{i_F} \ referem-se \ aos \ procedimentos \ do \ fundo \ de \\ investimentos \ . \\ \\ C_P+J_P+C_F+J_F \geq 1.072.000 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \\ \\ Agora \ substituindo \ (3) \ em \ (4)$

$C_P+\Big[C_P.(1+i_P)^t-C_p \Big]+C_F+ \Big[C_F.(1+i_F)^t-C_F \Big] \geq 1.072.000 \\ \\ C_P.(1+i_P)^t+C_F.(1+i_F)^t \geq 1.072.000 \\ \\ Do \ texto \ da \ quest\tilde{a}o \ temos \ que : \ i_P = 0,06 ; \ i_F = 0,075 \ ; e \ \\ t = 1 \ ano \ . \ Lembrando \ que \ a \ taxa \ deve \ estar \ na \ forma \\ centesimal \ . \ Substituindo \ esses \ valores : \\ \\ C_P.(1+0,06)^1+C_F.(1+0,075)^1 \geq 1.072.000 \\ \\ C_P(1,006)+C_F.(1,075) \geq 1.072.000 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$

$Sabemos \ ainda \ que \ : \\ \\ \boxed{C_P+C_F \ = 1.000.000} \\ \\ C_F \ = 1.000.000-C_P \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \\ \\ Substituindo \ (6) \ em \ (5) \ , \\ \\ C_P.(1,06)+[1.000.000-C_P](1,075) \geq 1.072.000 \\ C_P.(1,06)+1.075.000-C_P.(1,075) \geq 1.072.000 \\ C_P.(1,06)-C_P(1,075) \ \geq 1.072.000-1.075.000 \\ (-0,015).C_P \geq -3000 \\ 0,015.C_P \leq 3000 \\ C_P \leq 200.000$

$Logo \ o \ capital \ m\acute{a}ximo \ que \ deve \ ser \ aplicado \ na \\ caderneta \ de \ poupan\c{c}a \ deve \ ser \ de \ 200.000 \ reais \ , \ \mathbf{letra \ a)}$