Matemática, perguntado por vandy091, 1 ano atrás

(Fuvest-SP)

Determine a equação de uma das retas que passa pelo ponto (0,0) e é tangente à parábola de equação y=x²+4.

Soluções para a tarefa

Respondido por GFerraz

Bom dia.

Solução 1, com cálculo e mais útil em problemas mais elaborados:

A reta terá equação y = mx e passará por (a, b) da parábola.

A derivada de y = x² + 4 é o coeficiente angular.

m = 2x

No ponto (a, b), teremos que:

m = 2a

Na reta, teremos que:

b = ma

m = b/a = 2a

b = 2a²

Na equação da parábola, teremos;

b = a² + 4

Então:

2a² = a² + 4

a² = 4

a = 2

b = 8

Então m = b/a = 4

E teremos y = 4x

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Solução 2, sem cálculo:

A reta será da forma y = mx.

Igualando as funções:

mx = x² + 4

Que é a interseção das figuras:

x² - mx + 4 = 0

A solução deverá ser única, logo ∆ = 0

m² - 16 = 0

m² = 16

m = 4

A reta será y = 4x

vandy091: GFerraz, eu entendi a segunda solução. Quanto a primeira, eu parei de entender a partir da relação (No ponto (a, b), teremos que: m = 2a). Já me ajudou bastante, mas eu gostaria de compreender a primeira também, poderia me explicar um pouco mais detalhadamente?

GFerraz: Claro. Quando derivamos uma função, encontramos o valor do coeficiente angular da reta tangente à curva para cada valor x. Encontramos que y' = 2x. Queremos que seja tangente em (a,b), onde a abscissa é x = a, e aí teremos y' = m

vandy091: Entendi. " b = ma " e essa relação?

GFerraz: y = mx. Substituindo o par (a,b) temos b = ma

vandy091: Aaah, sim. Eu estava confundindo o "b" da lei de formação com o "b" do par ordenado. Entendi tudo agora. O que me confundiu muito foram as incógnitas "a" e "b", que podem também denotar os coeficientes na lei de formação. Agradecido, grande GFerraz. Resoluções excepcionais, como sempre. Abraço!

Respondido por albertrieben

Bom dia Vandy

equaçáo das retas

y - 0 = m*(x - 0)
y = mx

agora
x² + 4 = mx
x² - mx + 4 = 0

só um ponto ⇒ delta = 0

delta
d² = m² - 16 = 0
m² = 16
m = ± 4

equações
y = mx

y = 4x , y = -4x

Anexos: