Question

(Fuvest-SP) As três raízes de $9x^3-31x-10=0$ são p,q e 2. O valor de $p^2+q^2$ é :

a) 5/9
b)10/9
c)20/9
d)26/9
e)32/9

Answer 1

Se 2 é uma raiz do polinômio então o polinômio é divisível por x-2 (Teorema de D'Alembert)

Vamos dividir o polinômio por x-2 utilizando o dispositivo de Briot-Rufini:

    2   |   9  |   0   |  -31  |  -10
             9  |  18 |      5  |   0

Logo p e q são as raízes da equação:

$9x^2+18x+8=0$

As soluções desta equação, resolvendo por Báskara são: -4/3 e -2/3

Logo:

$\boxed{(-\frac{4}{3})^2+(-\frac{2}{3})^2=\frac{16}{9}+\frac{4}{9}=\frac{20}{9}}$

Answer 2

Hola.

Use as relacões de Girard:

p + q + 2 = -b/a
p + q + 2 = 0/9
p + q = - 2
p = (-2 - q) (i)

p*q*2 = -d/a
p*q+2 = -(-10/9)
p*q*2 = 10/9, multiplicando ambos os termos por 1/2, fica:
p*q = 5/9(ii)
substituindo (i) em (ii), temos:
q*(-2-q) = 5/9
-q² - 2q - 5/9 = 0, m.m.c.(1,1,9)=9
-9q² - 18q - 5 = 0(vezes -1)
9q² + 18q + 5 = 0 por Baskara, encontarmos:

q' = -5/3 e
q" = - 1/3.

Note o seguinte se q = -5/3 o p = -1/3 e se o q = -1/3 o p=-5/3, para isto acontecer basta vc substituir esses valores em p = (-2 - q) (i), então:

p² + q² = (-1/3)2 + (-5/3)
p2 + q² = 1/9 + 25/9
p² + q² = 26/9

Preste atenção pois o nosso amigo ai em cima se equivocou na resposta.

Vou fazer sem usar  a fórmula de Baskara

produto da 3 raízes: ==> p*q*2 = 10/9
soma das 3 raízes; ==> p+q+2 = 0

p+q = -2, aqui vamos elevar ambos os membros ao quadrado, Por produtos notáveis:
(p+q)² = (-2)²
p² + q² + 2pq = 4
p² + q² = 4 - 2pq, quem é 2pq? É 10/9, então:

p² + q² = 4 - 10/9
p² + q² = (36 - 10)/9
p² + q² = 26/9. Fácil né.