Question

(Fuvest - B) O número $x>1$ tal que $log_{x}2 = log_{4}x$:

a) $\frac{ \sqrt{2} }{2}$

b) ${2}^{ \sqrt{2} }$

c) $\sqrt{2}$

d) $2 \sqrt{2}$

e) ${4}^{ \sqrt{2} }$

Answer 1

$logx(2) = log4(x) \\ \\ log4(x) = logx(2) \\ \\ log4(x) = \frac{log4(2)}{log4(x)} \\ \\ log4(x)log4(x) = log4(2) \\ \\ log4(x)^{2} =log_{2^{2} }(2) \\ \\ log_{2 ^{2} }(x)^{2} = \frac{1}{2} \\ \\ ( \frac{1}{2} \times log_{2}(x) )^{2} = \frac{1}{?} \\ \\ \frac{1}{2} \times log_{2}(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \frac{1}{2} \times log_{2}(x) = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \frac{1}{2} \times log_{2}(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ x = \frac{1}{2 ^{ \sqrt{2} } } \\ \\ x = 2 ^{ \sqrt{2} }$



R: B

Answer 2

$log_x(2) = log_4(x)$

Utilize a propriedade de mudança de base:

$log_a(b) = { log_c(b) \over log_c(a) }$

${log_4(2) \over log_4(x) } = log_4(x) \\\\ log_4(2) = log_4(x)^2$

*Obs: não use a propriedade do expoente aqui, pois o 2 está elevando todo o logaritmo, e não apenas o logaritmando.

$log_4(2) = y \\ 4^y = 2 \\ (2^2)^y = 2 \\ 2^{2y} = 2 \\ 2y = 1 \\ y = {1 \over 2}$

Portanto, $log_4(2) = { 1 \over 2}$.

Substitua no problema:

${ 1 \over 2} = log_4(x)^2$

Extraia a raíz quadrada de ambos os lados e racionalize:

$\sqrt{{ 1 \over 2}} = log_4(x) \\\\ log_4(x) = { \sqrt{2} \over 2} \\\\ x = 4^{ { \sqrt{2} \over 2}} \\\\ x = (2^2)^{{ \sqrt{2} \over 2}} \\\\ x = \large{2^{{ \not 2 \sqrt{2} \over \not 2}}} \\\\ \boxed{ x = 2^{ \sqrt{2}} }$

→ R: $\mathbf{ Letra \: b) }$

*Obs: desconsiderei o valor negativo da raíz pois resultaria num número menor que 1.