Question

(FUVEST-2007) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão
bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com
Manoel e Alberto.Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco
alunos, com a exigência de que cada membro se relacione
bem com todos os outros.
Quantas comissões podem ser formadas?
a) 71
b) 75
c) 80
d) 83
e) 87

Answer 1

Olá !

Primeiro calculamos o total de comissões possíveis ...

Basta usar combinação de 9 tomados 5 a 5 ...

C 9,5

9!/5!.(9-5)!

9.8.7.6.5!/5!.4!

9.8.7.6/4.3.2.1

3.2.7.3

6 . 21 = 126 combinações no total (sem restrições)

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Agora vejo em quais Andréia estará com um/dois deles ...

com os 3 juntos ..

An, Ma, Al _ _ Restou 2 lugares para 6 pessoas

C 6,2

6!/2!.(6-2)!

6.5.4!/2.1.4!

6.5/2

3.5 = 15 maneiras com ambos ...

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Com Andréia e apenas um deles ...

An, Ma _ _ _ Restou 3 lugares entre 6 pessoas (pois o outro não deve estar)

C 6,3

Como o mesmo vale para Andréia e Alberto basta multiplicar por 2 ...

2 . C 6,3

2 . 6!/3!.(6-3)!

2 . 6.5.4.3!/3.2.1.3!

2.6.5.4/6

2.5.4 = 40 maneiras com um deles

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Agora basta subtrair do total ...

126 - 15 - 40

126 - 55 = 71 comissões pacíficas

Letra a)

ok

Answer 2

Podem ser formadas 71 comissões, alternativa A.

Combinação simples

Na combinação simples, estudamos a contagem de todos os subconjuntos de n elementos quando estes são agrupados em subconjuntos de k elementos. A fórmula para a combinação simples é:

$C(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}$

onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos de cada subconjunto.

Sem restrições, podemos formar a seguinte quantidade de grupos de 5 alunos:

C(9,5) = 9!/(9 - 5)!5!

C(9,5) = 3024/24

C(9,5) = 126

• Se Andreia estiver no grupo com Manoel e Alberto:

Andreia, Manoel, Alberto, ?, ?

Pode-se escolher dois alunos entre os seis restantes:

C(6, 2) = 6!/(6 - 2)!2!

C(6, 2) = 30/2

C(6, 2) = 15

• Se Andreia estiver no grupo com Manoel ou Alberto:

Andreia, Manoel, ?, ?, ?

Andreia, Alberto, ?, ?, ?

Em cada caso, pode-se escolher três alunos entre os seis restantes:

2·C(6, 3) = 2 · 6!/(6 - 3)!3!

2·C(6, 3) = 2 · 120/6

2·C(6, 3) = 40

Subtraindo estas possibilidades do total:

126 - 15 - 40 = 71

Leia mais sobre combinação simples em:

https://brainly.com.br/tarefa/19903142

#SPJ3