Question

(FJP-MG–2010) Considere a circunferência de centro C(3, 3) e tangente aos eixos coordenados. A soma das coordenadas do ponto dessa circunferência mais afastado da origem (0, 0) é:

A) 9

b) 6 + 3$\sqrt{x}$2

C) 4 + 6$\sqrt{x}$2

D) 4 + 2$\sqrt{x}$3

Por favor me ajudemmm

Answer 1

Resposta:

Já que o centro da circunferência é (3, 3) e ela é tangente com o eixo x, temos que o raio é= 3

Assim, consideramos que a equação desta circunferência é;

$(x - 3) {}^{2} + (y - 3) {}^{2} = 3 {}^{2} \\ (x - 3) {}^{2} + (y - 3) {}^{2} = 9$

O ponto terá distância máxima da origem, quando ele fizer parte da reta que intercepta tanto o centro da circunferência (3,3) quanto a origem (0, 0). Sobre essa reta, equação é:

x y 1

0 0 1

3 3 3

Resolvemos o determinante para obter:

3y+0+0-3x-0-0 = 0

3y= 3x

y= x

Agora substituimos na equação da circunferência, para achar esse ponto

$(x - 3) {}^{2} + (x - 3) {}^{2} = 9$

y=x

$x {}^{2} - 6x + 9 + x {}^{2} - 6x + 9 = 9 \\ 2x {}^{2} - 12x + 18 = 9 \\ 2 {x}^{2} - 12x + 9 = 0$

Agora resolvemos a equação do segundo grau para achar o valor de x ( pegamos o maior)

$x1 = ( - ( - 12) + \sqrt{144 - 4 \times 2 \times 9} ) \div 4 \\ x1 = \frac{12 + \sqrt{144 - 72} }{4} \\ x1 = (12 + \sqrt{72} ) \div 4 \\ x1 = \frac{12 + 6\sqrt{2} }{4} \\ x1 = \frac{2(6 + 3 \sqrt{2}) }{2 \times 2} \\ x1 = \frac{6 + 3 \sqrt{2} }{2} \\ x2 = \frac{6 - 3 \sqrt{2} }{2}$

x1 é maior então o pegamos, como a equação da reta que passa pelo ponto é x=y então para somar as coordenadas, basta multiplicar x1 por 2

$2 \times ( \frac{6 + 3 \sqrt{2} }{ 2} ) \\ = (12 + 6 \sqrt{2} ) \div 2 \\ = 6 +3 \sqrt{2}$

espero que tenha a opção kkkj (n pegamos o x2 porque ele não fazia parte da reta que passa pelo ponto 0,0 e 3,3) coloquei tudo em gráfico para vc entender melhor