Question

(FGV) A equação quadrática x^2-2x+c=0, em que c é uma constante real tem como raízes X1 é X2.

Se X1/X2=-2 então
$\sqrt[3]{c}$
será:
a) Um múltiplo de 3
b) racional não inteiro
c) irracional
d) -2
e) 2

Answer 1

Resposta:

d) -2

Explicação passo-a-passo:

Para a resolução do exercício utilizarei de conhecimentos em relação às relações de girard. Considere a seguinte equação de 2º grau:

$ax^2+bx+c = 0$

Chamando de x1 e x2 suas raízes teremos que:

$x_1+x_2 = \dfrac{-b}{a}$

$x_1*x_2 = \dfrac{c}{a}$

Relembradas as relações partiremos para a resolução.

Consideramos a seguinte equação quadrática do enunciado:

$x^2-2x+c = 0$

Sabemos também que existe uma relação entre suas raízes x1 e x2:

$\dfrac{x_1}{x_2} = -2$

$x_1 = -2*x_2$

Sabendo das relações de girard teremos que:

$x_1+x_2 = \dfrac{-(-2)}{1}$

$x_1+x_2 = 2$

$-2*x_2+x_2 = 2$

$-x_2= 2$

$x_2= -2$

O que nos permite achar x2:

$x_1+x_2 = 2$

$x_1-2 = 2$

$x_1=4$

Utilizando a segunda relação:

$x_1*x_2 = \dfrac{c}{1}$

$4*(-2) = c$

$c = -8$

Fazendo $\sqrt[3]{c}$

$\sqrt[3]{-8} = -2$

Já que:

$(-2)^3 = (-2)*(-2)*(-2) = 4*(-2) = -8$

O que nos dá a Alternativa d)